【正文】 =ω和 ffE=ω ，并記 f i fiEE ??? 。 注意 Coulomb 場中 有 ? ?0 iH ,r = p?，于是有 等式 fif p i = iμω f r i 將此式代入 （ ） 式，得到 H? 在初末態(tài)之間的矩陣元為 284 iω t i ω tfi 0if H i = ω (e + e )A f D i2c? ? 這里 D=er 是電子的 電偶極矩算符 。 由 周期微擾敘述可知 ， 對于吸收光子激發(fā)躍遷的情況 ( fiE E )， 只需取第二項(xiàng) ， 即 i ω tfi fi 0iH = f H i = ω e A f D i2c?? ? 將此式模平方， 利用 ???? 表示式 消去 經(jīng)典場振幅模平方 20A，即得 2202 fi itfiiH e A f D ic ?? ??? ?? 2202 ( ) co s ( , )fi fiA D D?? ?? （ ） 假定原子中 fiD 的指向是無規(guī)的 ， 可取 0E 方向?yàn)?z 軸 ， 即得方向余弦的平方平均為 ? ?220 fi 1co s E , D = co s θ = 3。于是 有 ? ?2 2fi fi fi2 πH = D ρ ω3? （ ） 將 此 式 代 入 周 期 微 擾 公式 () ， 最 后 得 到 在 輻 射 場? ? ? ?0A r , t = A cos k r ω t?擾 動和電偶極近似下 ， 吸收輻射所產(chǎn)生的躍遷速率為 ? ?22 22( ) ( )4 ()3fi fi f ifi f ip H E ED E E?? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? （ ） 以上計(jì)算是針對電磁場頻譜為單色的情況。如果電磁場 頻譜是連續(xù)的， 將 ? ?ρω 理解為 電磁 場在 ω 附近單位頻率間隔內(nèi)的平均能量密度，則 總的躍遷速率 將為 ? ? ? ?2 2fi fi fi fi24 πp = p ω d ω =D ρ ω3? () 3， 電偶極輻射 285 上面的受激躍遷將伴隨著光子的發(fā)射與吸 收 。 所輻射的光子稱為電偶極輻射 。 現(xiàn)對上面結(jié)果作一些討論 。 i, fip 和入射光的頻譜有關(guān) ， 并正比于其中有關(guān)的能量密度 。 ii, 電偶極擾動下 ， 分立態(tài)之間的躍遷選擇定則可以推導(dǎo)如下 ： 由于 ? ? ? ?? ? ? ?*2, si n ( ) , si n ( ) , c o s22,i i i in l l mn l l mrrn l m r n l m R r Y e e e e riR r Y r d rd? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????? ? ??并注意到 1 1 , 11 , 12 2 2 21 , 1 ,( 1 ) ( 2 )si n ( , ) ( , )( 2 1 ) ( 2 3 )( ) ( 1 ) ( , )( 2 1 ) ( 2 1 )( 1 )c os ( , ) ( , ) ( ,( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )il m l mlml m l m l ml m l me Y Ylll m l mYlll m l mY Y Yl l l l? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????????? ? ? ?????????? ? ???? ? ? ?)???????????? 可得三個分量不全都為零的條件為 1 0, 1l l lm m m?? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ?? () 這便是 電偶極躍遷的選擇定則 。 iii, 角動量守恒和輻射光子的極化狀態(tài) 問題 a電子 fiD 運(yùn)動 ： x 分量位相 b電子 fiD 運(yùn)動 ： x 分量位相 為零時 ， y 分量位相已為 2? ， 已到 2? ， y 分量 位相 才到零 ， 左手旋 轉(zhuǎn) 。 與此相應(yīng) ， 沿 z 方 右手旋轉(zhuǎn) 。 與此相應(yīng)，沿 z 方 1這里 ? ?,lmY ?? 中的連帶 Legendre 多項(xiàng)式 ()mlPx采用了 Ferrer 定義。 286 向發(fā)射的光子為右手螺旋 。 在 向發(fā) 射的光子為 左手螺旋 。 x y 面內(nèi)觀察它 則為垂直 z 軸 在 x y 面內(nèi)觀察它也為垂直 的線偏光 ? 。 z 軸的線偏光 ? 。 ▲ 設(shè)原子沿 z 軸方向發(fā)出一個角動量為 ? 的光子 ： 這時光子的極化狀態(tài)為右手螺旋（正螺度）。由于中心場和電偶極近似，角動量 zL 守恒，電子相應(yīng)自 i 態(tài) f? 態(tài) 躍遷時，它的 zL 應(yīng)減少一個 ，即 1mm???（ 1m? ?? ），由 ii, 中的表達(dá)式可知：電子 fiD的 z 分量為零， x 和 y 分量中含 ie?? 的項(xiàng)的矩陣元不為零，并且它們之間有如下關(guān)系 ： yxfifiD i D? () 說明電子的電偶極矩矩陣元 fiD 為繞 z 軸左手旋轉(zhuǎn) ， 如圖 a，即電子在躍遷中 zL 減少 。偶極輻射的其他特征在經(jīng)典電動力學(xué)中都有敘述，這里不再贅述。如果是另附有 z 方向磁場的 Zeeman 效應(yīng) 場合，原子將向 z 軸取向（相應(yīng)地，前面對無規(guī)取向的平均應(yīng)予取消），電子能級發(fā)生分裂， 1m? ?? 的躍遷對應(yīng)于比正常譜線頻率略高的分裂譜線。這時從磁場方向觀察這條譜線將為正螺度的圓偏振光（光學(xué)中的左旋光）。 ▲ 設(shè)原子沿 z 軸方向發(fā)出一個角動量為 ? 的光子 ： 這時光子的極化狀態(tài)為左手螺旋（負(fù)螺度）。與 此相應(yīng)，電子自 i態(tài) f? 態(tài)躍遷時 ， zL 增加一個 ， 即應(yīng)有 1mm???( 1m? ?? )。 這時 ， fiD 的 z 分量為零 ， x 和 y 分量中只有含 ?ie 的項(xiàng)不為零 ， 它們之間關(guān)系為 287 yxfifiD i D?? （ ） 說明電子躍遷時矩陣元 fiD 為繞 z 軸右手螺旋 ， 如圖 b。 如果在Zeeman 效應(yīng)的場合， 1m? ?? 的躍遷相應(yīng)于頻率略低于正常譜線的分裂譜線，沿磁場方向觀察它 將為負(fù)螺度的圓偏振光（光學(xué)中的右旋光）。 對于 0m??的發(fā)射光子的情況 ， 只有z fiD不為零 ， 由于輻射場的橫向性質(zhì)，沿 z 軸方向?qū)⒂^察不到這種輻射 ， 而在 x y 平面內(nèi)觀察光子將沿 z 軸作線偏振 。 這個光子不帶走角動量 ， 因?yàn)殡娮幼?i 態(tài)向f 態(tài)躍遷時 xL 、 yL 、 zL 的期望值均未改變 (前兩者仍為零 ， 后者仍為m )。顯然這對應(yīng)于 Zeeman 效應(yīng)中 0m??的線偏振光譜線。 4． 自發(fā)輻射 考慮大量同類原子與輻射場相互作用并達(dá)到熱平衡，平衡溫度為? ?0TK，假設(shè)原子的任意兩個能級為 ? ?,i f i fE E E E? ，處在 ,if態(tài)上的原子數(shù)分別為 ,ifNN。 首先，計(jì)算輻射場的能量密度分布?？紤]輻射場中邊長為 L 的立方體 3L 。利用在 3L 邊界的駐波條件可得容許駐波的波數(shù)，為 ? ?, , , , , 0, 1 , 2 ,x y zl m nk k k l m nL L L? ? ?? ? ? ? 波數(shù)是分立的，整波波數(shù)最小間距是 ? ?33δ =2π L 。于是，在 3L 中3k k d k?? 頻率范圍內(nèi)電磁場駐波振動模數(shù)目為 ? ?33dk2 2π L。這里乘 2是由于每個振動模都有兩個相互垂直的極化狀態(tài)。注意 k=ωc ，于是輻射場單位體積內(nèi)頻率在 d? ? ??? 的駐波振子數(shù)密度 — — 自由度數(shù)目密度等于 288 ? ? ? ? ? ? 2 323233 23L= 18 π k d kd k 8d = 2 = = d dcc2 π L2 π ? ??? ? ? ? ?? ? () 接著，如 167。 中 Planck 所做的，在能量子這一重大假設(shè)下，根據(jù)MB 分布律，求出給定溫度下能量子的平均能量 ω ω kTωε = e 1 () 將它乘到 ()上，即得黑體輻射能量密度的 Planck 公式（ 167。 的（ ）式）， ? ? ? ? ? ?323ω d ωξ ω d ω = ρ ω d ω = π c ex p ω k T 1?? ? () 現(xiàn)在 ，考慮原子數(shù)目的熱平衡分布問題。 Einstein 認(rèn)為，向上躍遷的受激輻射躍遷（ if? ）原子數(shù)應(yīng)該與輻射場相關(guān)的能量密度? ?fiξ ω 成正比；而向下躍遷的（ fi? ）原子數(shù)內(nèi)，一部分是受輻射場擾動后的受激輻射、另一部分則是自發(fā)輻射。前者與 ? ?fiξ ω成正比；后者只與原子自身性質(zhì)有關(guān)，與外場 ? ?fiξ ω?zé)o關(guān) 。由于假設(shè)達(dá)到熱平衡，可以寫出 dt 內(nèi)關(guān)于能量數(shù)值的細(xì)致平衡方程， ? ? ? ?? ?i f i f i f i f i f f iNB ξ ω d d t = N A + B ξ ω d d t?? () 這里系數(shù) fiB 是原子向上躍遷 if? 的受激輻射吸收系數(shù)， ifB 是原子向下躍遷 fi? 的受激輻射衰減系數(shù)，兩者量綱都是 [ 3 1 1LE S??]。 ifA 是單位體積內(nèi)原子向下躍遷 fi? 的自發(fā)輻射系數(shù)，即自發(fā)輻射速率（量綱是 1S? ）。由 MB 分布律，得 ? ?f i f iN N = e x p k T??。代入 ()式，得到 ? ? ? ?? ? ? ?i f f ifif i i f f iA B d ωξ ω d ω =e x p ω k T B B () 這段內(nèi)容即為 Einstein 處理自發(fā)輻射唯象理論的主要思想。 進(jìn)一步， 289 為了確定這三個系數(shù)，特別是若要得出自發(fā)輻射系數(shù) ifA ，就不可以繼續(xù)采用經(jīng)典理論或唯象理論，而要進(jìn)入量子理論。為此借助黑體輻射能量密度的 Planck 公式（ ）。簡單地將兩者相比較，即得f i i fBB? ， 3i f f i23ωA = Bπ c 。為確定 fiB ，利用前面吸收輻射產(chǎn)生躍遷的躍遷速率（ ）式， ? ? ? ?22 224 3f i f i f i f i f iep r B? ? ? ? ??? 即得 22 2243f i fieBr?? () 此式表明，對輻射場作了一階線性近似后，吸收系數(shù) fiB 當(dāng)然地與輻射場性質(zhì)無關(guān)，只和原子初末態(tài)有關(guān)。而進(jìn)一步作偶極近似后，它只和電子位置矢量在初末態(tài)的躍遷矩陣元有關(guān)。將 fiB 表達(dá)式代入 ifA中，得到單位時間內(nèi)激發(fā)原子自發(fā)衰減速率， 2 243 3i f fi3e ωArc? （ ） 此式乘以光子能量 fiω 即得自發(fā)衰變輻射功率。 例算：計(jì)算氫原子 2p 1s? 自發(fā)躍遷速率。不計(jì)自旋，求 2p 態(tài)的平均壽命。此時是三條能級向基態(tài)的自發(fā)躍遷，即 211 , 210 , 21 1 100??。由于空間各向同性， r 躍遷矩陣元與初態(tài)的磁量子 數(shù) m 無關(guān)，即有 100 211 100 21 1 100 210A A A? ? ? ??? 于是，三條能級的自發(fā)躍遷速率相等。利用 21 0 0 2 1 0 51 0 0 2 1 0 2co s s i n 37 B2z r r d d d r =? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 290 求得平均壽命為 ? ?854310 0 21 0 322210 0 21 0 10 0 21 021 0 10 012 921 3 c 1 1 3η = = =A 4 e 2 m crE E= 10 = 10 smc? ??? ??? ???? ???????? 注意，自發(fā)衰變平均壽命正比于2mc，說明激發(fā)定態(tài)的自發(fā)衰變是一類純量子現(xiàn)象，甚至從 量 子力學(xué) 定態(tài)概念難以解釋的現(xiàn)象。只當(dāng)將量子邏輯推向前進(jìn)，破除粒子數(shù)守恒限制，脫出量子力學(xué)的力學(xué)理論框架，進(jìn)入量子場論范圍，發(fā)現(xiàn)了真空漲落，它才得到了完美的解釋。 ※ 5，受激氫原子的光電效應(yīng) 上面的躍遷過程是針對電子初、末態(tài)均為分立態(tài)的情況 ， 這就是通常原子受輻射場激發(fā) (或退激發(fā) )的情況 。 但實(shí)際上也存在原子被輻射場所電離的光電效應(yīng) 。 這時電子的末態(tài)在漸近意義下為自由狀態(tài) 。 由于現(xiàn)在為吸