【正文】 狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復常數(shù) )。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于 Ψ 態(tài)的體系，部分的處于 Ψ 1態(tài)，部分的處于 Ψ 2態(tài) ...，部分的處于 Ψ n， ... 一般情況下，如果 Ψ 1和 Ψ 2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是該體系的一個可能狀態(tài) .其中 C1 和 C2 是復常數(shù) 力學量的不確定性 12, n? ? ?體系可能態(tài) 在時間 t=0時，一粒子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描述的狀態(tài)： )()(21)(51)0,( 3320 xcxxx ???? ???1）求 C3的值； 2)寫出 t時刻的波函數(shù)； 3）在 t=0時的粒子能量的期望值為多少？ t=1時又如何？ ()n xn?其 中 為 第 個 與 時 間 無 關 的 能 量 本 征 函 數(shù) 。例題 5 解： 1）歸一化條件 *2 2 2 20 2 3 3( , 0 ) ( , 0 ) 111) ) ) 152x x dxx dx x dx C x dx??? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?即 ： （ （ （103,12151323 ????? CC有：2） ( , ) ( ) ni Etnnnx t C x e???? ?2300 2 31 1 3( , ) ( ) ( ) ( )5 2 1 0iiE t E tiEt tx t x e x e x e? ? ? ????? ? ?3） t時刻的粒子能量的期望值為 ? ???????mntEimtEinmnmnexHexCCdxtxHtxE,*__)()(),(),(?? ????一性，有：再有本征函數(shù)的正交歸因為： ),()( xExH mmm ?? ??__ 20 2 31 1 35 2 1 0nnnE C E E E E? ? ? ??例題 6 ik xex ?)(???? ????dxdx?? *?1)( 2 ???dxx?12 ?? ??設 ，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？ ∴ 波函數(shù)不能按 方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。 例題 7 tixex ????? 22 22)( ???2221 xU ????22pT ?一維諧振子處在基態(tài) 求： (1)勢能的平均值 (2)動能的平均值 (3)動量的幾率分布函數(shù)。 ? ? ?? ??????0 12 2 )12(5312 aa ndxex nnaxn ??? ??? ??? dxexxU x 222222 2121 ????????????????????? ?????? 22222241212121221??41?解： (1) ? ????? dxxpxpT )(?)(2 12 2*2 ????? ??? ?? ?? dxedxde xx 2222 2122221 )(2 1 ????? ?? ??? ??? dxex x 22)1(2 2222 ?????? ?][2 2222 2222 ?? ???????? ?? dxexdxe xx ?? ????? ? (2) ]2[2 3222????????? ??? ? ???? ??????????? ???? 442222222??41? 1 / 21( ) ( )( 2 )i pxp x e d x?? ??? ? 21 2221? ?????? dxee Pxix ??????? ??? ??? dxee Pxix??2221 21 ????? ??? ???? dxepipx2222222)(21 21 ??? ??????? ??? ???? dxeeipxp 222222)(212 21 ?????????????? ? 221 2222 ??pe ?? 22221 ?????pe ??(3) 2222 1( ) ( )pp p e ??? ?? ??? 動量幾率分布函數(shù)為 例題 8 為什么電子既不是經典意義的波，也不是經典意義的粒子？ 答：因為單個的電子具有波動的性質的，所以它不是經典意義的波，同時對于經典意義的粒子它的整體行為也不具有波動性，而電子卻具有這個性質，所以電子也不是經典意義的粒子 ?????? ?0 ,0 0 ,)(xxAxex x當當??0??一維運動粒子的狀態(tài)是 其中 ，求： (1)粒子動量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動量。 解： (1)先求歸一化常數(shù)，由 10!?? ? ??naxnandxex?? ? ???? ?? 0 2222)(1 dxexAdxx x??2341 A??∴ 2/32 ??Axxex ??? 22/32)( ?? )0( ?x0)( ?x? )0( ?x()x? ?例題 9 1 / 2 3 / 2 ( )11( ) ( ) ( ) 2 ( )22i k x i k xp e x d x x e x d x?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ???? ??? ????? ????? dxeikeikx xikxik )(0)(2/13 1[)22( ?? ???? ?22/1322/13)(1)22()()22(??? piikx??????????? 動量幾率分布函數(shù)為： 3 3 322 2 2 2 22222 1 2 1( ) ( )()()ppp p????? ? ??? ? ???(2) ?? ???????? ??? dxedxdxeidxxpxp xx )(4)(?)( 3* ????? ?? ??? ???? dxexxi x??? 23 )1(4 ??? ??? ???? dxexxi x??? 223 )(4 ??)4 14 1(4 223 ??? ??? ??i0?例題 9 例題 10 本章總結 . 波函數(shù)模的平方 |?(x,y,z,t)|2(波在空間某點的強度 )與 t時刻在空間某點 (x,y,z)處單位體積內發(fā)現(xiàn)粒子的幾率 ?(x,y,z,t)成正比 .或者說 , t時刻在 x到 x+dx,y到 y+dy,z到 z+dz的體積 d?=dxdydz 內找到粒子的幾率?(x,y,z,t)d? 與 |?(x,y,z,t)|2 d?成正比 。 波函數(shù)物理意義的統(tǒng)計解釋 : 波函數(shù)物理意義的數(shù)學表示： ?(x,y,z,t)d? =C2 |?(x,y,z,t)|2 d? 波函數(shù) ??與 ??=C?描寫的是同一狀態(tài) (C為任意常數(shù)）。 波函數(shù)的性質 波函數(shù)必須是歸一化的 ??? |?(x,y,z,t)|2dxdydz=1 ? |?(r,t)|2d? = ? C2|?|2d? =1 xip x ???? ??yip y ???? ??zip z ???? ??2222?xp x ???? ?2222?yp y ???? ?2222?zp z ???? ??pi? ? ?力學量的算符表示 動量算符 坐標算符 rr ?? )()(? rVrV ?角動量算符 ? ()ZL i x yyx??? ? ???? ()xL i y zzy??? ? ???? ()YL i z xxz??? ? ???能量算符 V?m2E?tiE?22??????????VmH ?2? 22???? ?哈密頓算符 動能算符 222??22PTmm?? ? ? 力學量的平均值 由歸一化波函數(shù) ψ(r) 求力學量平均值時，必須把該力學量的算符夾在 ψ *(r)和 ψ(r) 之間 ,對全空間積分，即 F 是任一力學量算符 ?( ) ( )F F r F r d r?? ? ? ? ? ??????????? 222 mti??自由粒子的薛定諤波動方程 非自由粒子的薛定諤方程 22[ ( , ) ]2i V r ttm?? ? ? ? ? ??定態(tài)薛定諤方程 : 22()2VEm? ? ? ? ? ?本征值方程 : ?? EH ?