[學(xué)科競(jìng)賽]競(jìng)賽課件7：曲線運(yùn)動(dòng)曲直談-資料下載頁(yè)
2024-12-07 23:22本頁(yè)面
【正文】 柱形井中．小球速度 v與過(guò) Ａ 點(diǎn)井的直徑成 α，俯視如圖．問(wèn) v、 H、 r、α之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來(lái)”（不計(jì)摩擦） v A r ?小球運(yùn)動(dòng)軌跡的俯視圖如示 小球兩次與壁相碰點(diǎn)間水平射程為 2 co sr ?12 c o srtv??歷時(shí) 從進(jìn)入至與底碰撞歷時(shí) 22 Htg?為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里 “ 跳出來(lái) ” 122n t k t?c o s 2rHnkvg? ?即 (n、 k均為正整數(shù) ) 小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零 小球在水平方向以 v勻速運(yùn)動(dòng) ,碰壁 “ 反射 ” 如圖，一位網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場(chǎng)地上后彈跳起來(lái)剛好擦網(wǎng)而過(guò)，落在對(duì)方場(chǎng)地 Ａ 處．第二只球直接擦網(wǎng)而過(guò)，也落在 Ａ 處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計(jì)，試求運(yùn)動(dòng)員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？ B A C O H 設(shè) C點(diǎn)高度為 h，由題意球 1運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 123 Htg?由題意球 2運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 22 Htg?∵ 水平射程相同 1221223vt vvvt? ? ?x ? ? ? ?2122 22H h H hHvvg g gx?????????? ???2 H h H?? 34hH? 初速度為 v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程． 這個(gè)問(wèn)題可抽象為一個(gè)求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問(wèn)題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域． 如圖，在空間三維坐標(biāo)中，設(shè)初速度方向與 xy平面 成 θ角，由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可建立時(shí)間 t的三個(gè)參數(shù)方程 x z y O v0 vx vy vz ?xx v t?201s in2z v t g t?? ? ?yy v t?? ? 22 2 20 c osx y v t???且22222201t a n2 c o sxyz x y gv???? ? ? ?2 2 2 22 2 2220011t a n t a n22x y x yx y g gvv?? ??? ? ? ? ?續(xù)解 這是發(fā)射角 θ 各不相同的炮彈的空間軌跡方程 ? ? ? ?2 2 2 22 2 22200t a n t a n 022g x y g x yx y zvv????? ? ? ? ? ?即此方程式有解時(shí)，必滿足 ? ? ? ?2 2 2 22222004022g x y g x yx y zvv??????? ? ? ? ? ? ? ???2422 00220vvx y zg g? ? ? ?包絡(luò)線方程為 ? ?2222002102g x ygzvv?????? ? ? ???這里我們運(yùn)用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型處理了一個(gè)有實(shí)際應(yīng)用背景的物理問(wèn)題 整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程 讀題 機(jī)車(chē)以等速率 v0沿直線軌道行駛．機(jī)車(chē)車(chē)輪半徑為 r．如車(chē)輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)，將輪緣上的點(diǎn) M在軌道上的起點(diǎn)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并將軌道取為 x軸，如圖所示，求 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當(dāng) M點(diǎn)所在的車(chē)輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度． y x O M A M點(diǎn)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng) —— 與輪心相同的勻速運(yùn)動(dòng) 對(duì)輪心的勻速圓周運(yùn)動(dòng) O y x 2r0vT0vtr00 s invx v t r tr??? ? ?????0c o s vy r r tr????????0vt? ? ? ?2 22 0r v t x r y? ? ? ?? ?2221c o sryr r x r yr? ???? ? ? ?????00s invr t v t xr??? ? ?????0c o s vr t r yr?? ??????續(xù)解 M點(diǎn)的軌跡方程為 求軌跡方程： M ?讀題 M點(diǎn)速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示 求軌跡的曲率半徑 ρ ： vM aM at v0 v0 ?2v?M點(diǎn)加速度即 20Mvar?法向分量 2Mnva??20 s in2vr???02 sin 2Mvv??而20202 sin2sin2vvr???????????4 s i n2r??續(xù)解 M 90求 當(dāng) M點(diǎn)所在的車(chē)輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度： vM aM at v0 v0 2v?0s in 4 5Mvv ?02 v? 方向與 x軸成 45176。 20a vr? 方向 +
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