[學科競賽]競賽課件7：曲線運動曲直談-資料下載頁
2024-12-07 23:22本頁面
【正文】 柱形井中．小球速度 v與過 Ａ 點井的直徑成 α，俯視如圖．問 v、 H、 r、α之間關系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計摩擦） v A r ?小球運動軌跡的俯視圖如示 小球兩次與壁相碰點間水平射程為 2 co sr ?12 c o srtv??歷時 從進入至與底碰撞歷時 22 Htg?為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里 “ 跳出來 ” 122n t k t?c o s 2rHnkvg? ?即 (n、 k均為正整數 ) 小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零 小球在水平方向以 v勻速運動 ,碰壁 “ 反射 ” 如圖，一位網球運動員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網而過，落在對方場地 Ａ 處．第二只球直接擦網而過，也落在 Ａ 處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計，試求運動員擊球高度為網高的多少倍？ B A C O H 設 C點高度為 h，由題意球 1運動時間為 123 Htg?由題意球 2運動時間為 22 Htg?∵ 水平射程相同 1221223vt vvvt? ? ?x ? ? ? ?2122 22H h H hHvvg g gx?????????? ???2 H h H?? 34hH? 初速度為 v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程． 這個問題可抽象為一個求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡線方程問題，包絡線以外即為安全區(qū)域． 如圖，在空間三維坐標中，設初速度方向與 xy平面 成 θ角，由拋體運動規(guī)律可建立時間 t的三個參數方程 x z y O v0 vx vy vz ?xx v t?201s in2z v t g t?? ? ?yy v t?? ? 22 2 20 c osx y v t???且22222201t a n2 c o sxyz x y gv???? ? ? ?2 2 2 22 2 2220011t a n t a n22x y x yx y g gvv?? ??? ? ? ? ?續(xù)解 這是發(fā)射角 θ 各不相同的炮彈的空間軌跡方程 ? ? ? ?2 2 2 22 2 22200t a n t a n 022g x y g x yx y zvv????? ? ? ? ? ?即此方程式有解時，必滿足 ? ? ? ?2 2 2 22222004022g x y g x yx y zvv??????? ? ? ? ? ? ? ???2422 00220vvx y zg g? ? ? ?包絡線方程為 ? ?2222002102g x ygzvv?????? ? ? ???這里我們運用了曲線簇的包絡線的數學模型處理了一個有實際應用背景的物理問題 整理該包絡線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程 讀題 機車以等速率 v0沿直線軌道行駛．機車車輪半徑為 r．如車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點 M在軌道上的起點位置取為坐標原點，并將軌道取為 x軸，如圖所示，求 M點的運動軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當 M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度． y x O M A M點的兩個分運動 —— 與輪心相同的勻速運動 對輪心的勻速圓周運動 O y x 2r0vT0vtr00 s invx v t r tr??? ? ?????0c o s vy r r tr????????0vt? ? ? ?2 22 0r v t x r y? ? ? ?? ?2221c o sryr r x r yr? ???? ? ? ?????00s invr t v t xr??? ? ?????0c o s vr t r yr?? ??????續(xù)解 M點的軌跡方程為 求軌跡方程： M ?讀題 M點速度矢量與加速度矢量關系如示 求軌跡的曲率半徑 ρ ： vM aM at v0 v0 ?2v?M點加速度即 20Mvar?法向分量 2Mnva??20 s in2vr???02 sin 2Mvv??而20202 sin2sin2vvr???????????4 s i n2r??續(xù)解 M 90求 當 M點所在的車輪直徑在水平位置時，該點的速度與加速度： vM aM at v0 v0 2v?0s in 4 5Mvv ?02 v? 方向與 x軸成 45176。 20a vr? 方向 +
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