【正文】 ?， （ I） 求 bc、 滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點 ? ?,bc 的區(qū)域； (II)證明： ? ?2 110 2fx? ? ? ? 分析（ I） 這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。 大部分考生有思路并能夠得分。? ? 23 6 3f x x b x c? ? ? ?由題意知方程?? 0fx? ? 有兩個根 12xx、 1 [ 10],x ??且 ， 2 [1,2].x ? 則有 ? ?10f? ??， ? ?00f? ? ， ? ? ? ?1 0 2 0ff????， 故有 右圖中陰影部分即是 滿足這些條件的點 ? ?,bc 的區(qū)域 。 (II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破 口。此題主要利用消元的手段，消去目標? ? 322 2 2 233f x x b x c x? ? ?中的 b ，（如果消 c 會較繁瑣）再利用 2x 的范圍，并借助（ I） 中的約束條件得 [ 2,0]c?? 進而求解，有較強的技巧性。 解析 由題意有 ? ? 22 2 23 6 3 0f x x b x c? ? ? ? ?．．．．．．．．．．．． ① 又 ? ? 322 2 2 233f x x b x c x? ? ?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ② 消去 b 可得 ? ? 32 2 21322cf x x x? ? ?． 又 2 [1,2]x ? ，且 [ 2,0]c?? 2 11 0 ( ) 2fx? ? ? ? ? 19.（ 2022 浙江文） （本題滿分 15 分）已知函數(shù) 32( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b? ? ? ? ? ? ( , )ab?R ． （ I）若函數(shù) ()fx的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是 3? ，求 ,ab的值； （ II）若函數(shù) ()fx在區(qū)間 ( 1,1)? 上 不單調(diào) ． ． ． ，求 a 的取值范圍． 解析 （ Ⅰ ）由題意得 )2()1(23)( 2 ?????? aaxaxxf 又??? ?????? ?? 3)2()0( 0)0( aaf bf ，解得 0?b ， 3??a 或 1?a （ Ⅱ ）函數(shù) )(xf 在區(qū)間 )1,1(? 不單調(diào)，等價于 導函數(shù) )(xf? 在 )1,1(? 既能取到大于 0 的實數(shù)，又能取到小于 0 的實數(shù) 33 即函數(shù) )(xf? 在 )1,1(? 上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有 0)1()1( ???? ff ， 即： 0)]2()1(23)][2()1(23[ ????????? aaaaaa 整理得： 0)1)(1)(5( 2 ???? aaa ，解得 15 ???? a 20.（ 2022 北京文）（本小題共 14 分） 設(shè)函數(shù) 3( ) 3 ( 0)f x x ax b a? ? ? ?. （Ⅰ）若曲線 ()y f x? 在點 (2, ( ))fx 處與直線 8y? 相切，求 ,ab的值； （Ⅱ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間與極值點 . 解析 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力． （Ⅰ） ? ?39。233f x x a??, ∵ 曲線 ()y f x? 在點 (2, ( ))fx 處與直線 8y? 相切， ∴ ? ?? ? ? ?39。 20 3 4 0 4, 6 828f a ababf? ? ??? ???? ??? ? ??? ? ?? ? ?? ?? （Ⅱ） ∵ ? ? ? ?? ?39。230f x x a a? ? ?, 當 0a? 時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ()fx在 ? ?,???? 上單調(diào)遞增， 此時函數(shù) ()fx沒有極值點 . 當 0a? 時，由 ? ?39。 0f x x a? ? ? ?， 當 ? ?,xa? ?? ? 時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ()fx單調(diào)遞增， 當 ? ?,x a a?? 時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ()fx單調(diào)遞減， 當 ? ?,xa? ?? 時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ()fx單調(diào)遞增， ∴此時 xa?? 是 ()fx的極大值點， xa? 是 ()fx的極小值點 . 21.（ 2022 北京理）（本小題共 13 分） 設(shè)函數(shù) ( ) ( 0)kxf x xe k?? （ Ⅰ ）求曲線 ()y f x? 在點 (0, (0))f 處的切線方程； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）若函數(shù) ()fx在區(qū)間 ( 1,1)? 內(nèi)單調(diào)遞增，求 k 的取值范圍 . 解析 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識 ，考查 綜合分析和解決問題的能力． 34 （Ⅰ） ? ? ? ? ? ? ? ?39。39。1 , 0 1 , 0 0kxf x k x e f f? ? ? ?, 曲線 ()y f x? 在點 (0, (0))f 處的切線方程為 yx? . （ Ⅱ ）由 ? ? ? ?39。 10kxf x k x e? ? ?，得 ? ?1 0xkk?? ?， 若 0k? ，則當 1,xk??? ?? ?????時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ??fx單調(diào)遞減， 當 1 ,xk??? ? ??????時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ??fx單調(diào)遞增， 若 0k? ，則當 1,xk??? ?? ?????時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ??fx單調(diào)遞增， 當 1 ,xk??? ? ??????時， ? ?39。 0fx? ，函數(shù) ??fx單調(diào)遞減， （ Ⅲ ）由（ Ⅱ ）知，若 0k? ，則當且僅當 1 1k? ?? ， 即 1k? 時，函數(shù) ??fx? ?1,1? 內(nèi)單調(diào)遞增， 若 0k? ，則當且僅當 1 1k??， 即 1k?? 時，函數(shù) ??fx? ?1,1? 內(nèi)單調(diào)遞增， 綜上可知，函數(shù) ??fx? ?1,1? 內(nèi)單調(diào)遞增時， k 的取值范圍是 ? ? ? ?1,0 0,1? . 22.(2022 山東 卷文 )（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 321( ) 33f x a x b x x? ? ? ?,其中 0a? （ 1）當 ba, 滿足什么條件時 , )(xf 取得極值 ? （ 2）已知 0?a ,且 )(xf 在區(qū)間 (0,1] 上單調(diào)遞增 ,試用 a 表示出 b 的取值范圍 . 解 : (1)由已知得 239。( ) 2 1f x a x b x? ? ?,令 0)(39。 ?xf ,得 2 2 1 0ax bx? ? ?, )(xf 要取得極值 ,方程 2 2 1 0ax bx? ? ?必須有解 , 所以△ 24 4 0ba? ? ? ,即 2ba? , 此時方程 2 2 1 0ax bx? ? ?的根為 221 2 4 42b b a b b ax aa? ? ? ? ? ???, 222 2 4 42b b b b ax aa? ? ? ? ? ???, 所以 1239。( ) ( ) ( )f x a x x x x? ? ? 35 當 0?a 時 , x (∞ ,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞ ) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 )(xf 在 x 1, x2 處分別取得極大值和極小值 . 當 0?a 時 , x (∞ ,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞ ) f’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以 )(xf 在 x 1, x2 處分別取得極大值和極小值 . 綜上 ,當 ba, 滿足 2ba? 時 , )(xf 取得極值 . (2)要使 )(xf 在區(qū)間 (0,1] 上單調(diào)遞增 ,需使 239。( ) 2 1 0f x ax bx? ? ? ?在 (0,1] 上恒成立 . 即 1 , ( 0 ,1]22axbxx? ? ? ?恒成立 , 所以m ax1()22axb x? ? ? 設(shè) 1() 22axgx x? ? ? , 2221()139。( ) 2 2 2axa agx xx ?? ? ? ?, 令 39。( ) 0gx? 得 1xa?或 1xa??(舍去 ), 當 1?a 時 , 101a??,當 1(0, )xa?時 39。( ) 0gx? , 1() 22axgx x? ? ? 單調(diào)增函數(shù) 。 當 1( ,1]xa?時 39。( ) 0gx? , 1() 22axgx x? ? ? 單調(diào)減函數(shù) , 所以當 1xa?時 , ()gx 取得最大 ,最大值為 1()gaa ??. 所以 ba?? 當 01a??時 , 1 1a?,此時 39。( ) 0gx? 在區(qū)間 (0,1] 恒成立 ,所以 1() 22axgx x? ? ? 在區(qū) 間 (0,1] 上單調(diào)遞增 ,當 1x? 時 ()gx 最大 ,最大值為 1(1) 2ag ??? ,所以 12ab ??? 綜上 ,當 1?a 時 , ba?? 。 當 01a??時 , 12ab ??? 【命題立意】 :本題為三次函數(shù) ,利用求導的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值 ,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù) ,則導函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定 ,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立 ,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值 .運用函數(shù)與方程的思想 ,化歸思想和分類討論的思想解答問題 . 36 321( ) (1 ) 4 2 43f x x a x a x a? ? ? ? ?，其中常數(shù) a1 (Ⅰ )討論 f(x)的單調(diào)性 。 (Ⅱ )若當 x≥0 時， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范圍。 解析 本題考查導數(shù)與函數(shù)的綜合運用能 力，涉及利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。 解析 （ I） )2)(2(4)1(2)( 2 axxaxaxxf ???????? 由 1?a 知，當 2?x 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 )2,(?? 是增函數(shù)； 當 ax 22 ?? 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 )2,2( a 是減函數(shù)； 當 ax 2? 時， 0)( ?? xf ，故 )(xf 在區(qū)間 ),2( ??a 是增函數(shù)。 綜上，當 1?a 時， )(xf 在區(qū)間 )2,(?? 和 ),2( ??a 是增函數(shù)，在區(qū)間 )2,2( a 是減函數(shù)。 （ II）由（ I）知，當 0?x 時， )(xf 在 ax 2? 或 0?x 處取得最小值。 aaaaaaaf 2424)2)(1()2(31)2( 23 ?????? aaa 24434 23 ???? af 24)0( ? 由假設(shè)知 ????????,0)0(,0)2(1fafa 即?????????????.024,0)6)(3(34,1aaaaa 解得 1a6 故 a 的取值范圍是（ 1， 6） 23.（ 2022 廣東卷 理 ） （本小題滿分 14 分） 已知二次函數(shù) ()y g x? 的導函數(shù)的圖像與直線 2yx? 平行，且 ()y g x? 在 1x?? 處取得極小值1( 0)mm??．設(shè) ()() gxfx x? ． （ 1） 若曲線 ()y f x? 上的點 P 到點 (0,2)Q 的距離的最小值為 2 ，求 m 的值； （ 2） ()k k R? 如何取值時，函數(shù) ()y f x kx??存在零點，并求出零點． 解析 （ 1） 依題可 設(shè) 1)1()( 2 ???? mxaxg ( 0?a )，則 aaxxaxg 22)1(2)(39。 ???? ； 又 ??gx? 的圖像與直線 2yx? 平行 22a?? 1a? 37 mxxmxxg ???????? 21)1()( 22， ? ? ? ? 2gx mf x xxx? ? ? ?， 設(shè) ? ?,ooP x y， 則 2002020202 )()2(|| xmxxyxPQ ?????? mmmmmxmx 2||2222222 220 220 ??????? 當且僅當202202 xmx ?時， 2||PQ 取得最小值，即 ||PQ 取得最小值 2 當 0?m 時， 2)222( ?? m 解得 12??m 當 0?m 時， 2)222( ??? m 解得 12???m （ 2）由 ? ? ? ?1 2 0my f x k x k x x? ?