【正文】 ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ????該方程組的第一個方程為 1 5 1 51 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1 1 11 0 1 0K u K v K u K v c K? ? ? ? ? ?解得 ，這種方法就是使 中相應(yīng)行的修正項(xiàng)遠(yuǎn)大于非修正項(xiàng)。 11uc?2021/11/12 36 平面問題有限元分析 總剛 邊界條件 1．代入法 2．乘大數(shù)法 在以上的兩種方法中 ， 代入法接近人工解法 ， 雖然該方法比較直觀 ， 但該方法對剛度矩陣改變較多 ， 程序效率不高 。 乘大數(shù)法對剛度矩陣改變較少 ， 工作量較小 ，但相乘的 “ 大數(shù) ” 若取得過大 ， 求解時會發(fā)生 “ 溢出 ” 、若取得太小則會引起較大的 誤差 。 2021/11/12 37 平面問題有限元分析 總剛 邊界條件 對于三節(jié)點(diǎn)三角形單元 ， 單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力值相等 ， 算出的應(yīng)力 一般作為單元形心處的應(yīng)力 。 由于單元應(yīng)力為常數(shù) ，整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場呈階梯狀 ， 在單元之間不連續(xù) 。 而工程上往往更加關(guān)心邊界和節(jié)點(diǎn)上的受力情況 ， 因此 ， 必須對所得到的應(yīng)力再次進(jìn)行處理 ， 得到更加合理的應(yīng)力場 ， 并得到所需點(diǎn)上的應(yīng)力值 。 這里介紹兩種簡單的方法 ， 一種方法稱為 節(jié)點(diǎn)平均法 ，即把環(huán)繞某一節(jié)點(diǎn)的各單元的應(yīng)力加以平均作為該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值 。 例如圖中節(jié)點(diǎn) 3的應(yīng)力為 ? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )3 16? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2021/11/12 38 平面問題有限元分析 總剛 計(jì)算結(jié)果整理 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 為了使通過這樣平均得來的應(yīng)力比較接近實(shí)際情況 ，要求環(huán)繞節(jié)點(diǎn)的各單元尺寸不應(yīng)相差太大 。 這種做法 ， 對內(nèi)節(jié)點(diǎn)比較好 ， 對邊界點(diǎn)則可能很差 。 因此 ， 邊界節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力不宜直接由單元應(yīng)力平均來獲得 ， 而要根據(jù)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力構(gòu)造 插值函數(shù) 推算出來 。 例如圖中邊界點(diǎn) 1的應(yīng)力 ， 可以先用節(jié)點(diǎn)平均法求得節(jié)點(diǎn) 4處的應(yīng)力 ， 在構(gòu)造相應(yīng)的插值函數(shù)推算邊界點(diǎn) 1的應(yīng)力 ， 如常用的拋物線插值公式如下 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 4 2 4 2 31 2 3 42 3 2 4 3 2 3 4 4 2 4 3x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 計(jì)算結(jié)果整理 2021/11/12 39 平面問題有限元分析 總剛 另一種方法稱為 單元平均法 ， 即把兩相鄰單元的應(yīng)力加以平均 ， 用以表示公共邊界中點(diǎn)的應(yīng)力 。 為了由這樣平均所得到的應(yīng)力具有較好的精度 ， 兩相鄰單元的面積不應(yīng)相差太大 。 如圖中單元 ② 和 ③ 邊界的中點(diǎn)處的應(yīng)力為 ? ?( 2 , 3 ) ( 1 ) ( 2 )12??? ? ? 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 在不同的有限元軟件中均具有各自的后處理方法 ， 但無論后期怎樣處理 ， 應(yīng)力場來源于應(yīng)力的計(jì)算 ， 應(yīng)力的精度主要依賴于單元的尺寸 、 單元的類型 （ 位移模式 ） 。 2021/11/12 40 平面問題有限元分析 總剛 計(jì)算結(jié)果整理 對于有限元這種數(shù)值計(jì)算方法 ， 一般總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分所得到的解能夠收斂于問題的精確解 。 根據(jù)前面的分析 ， 可知在有限元分析中 ， 一旦確定了單元的形狀之后 ， 位移模式的選擇將是非常關(guān)鍵的 。 由于載荷的移置 、 應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立等等 ， 都依賴于單元的位移模式 ，所以 ， 如果所選擇的位移模式與真實(shí)的位移分布有很大的差別 ， 那么就很難獲得良好的數(shù)值解 。 為了保證解答的收斂性 ，要求位移模式必須滿足以下三個條件 ， 即 1）位移模式必須包含單元的剛體位移。 2）位移模式必須包含單元的常應(yīng)變。 3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。 收斂準(zhǔn)則 2021/11/12 41 平面問題有限元分析 總剛 1） 位移模式必須包含單元的剛體位移 。 也就是說 ， 當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移是由某個剛體位移所引起時 ， 彈性體內(nèi)將不會產(chǎn)生應(yīng)變 。 所以 ， 位移模式不但要具有描述單元本身形變的能力 ，而且還要具有描述由于其它單元形變而通過節(jié)點(diǎn)位移引起單元剛體位移的能力 。 2） 位移模式必須包含單元的常應(yīng)變 。 每個單元的應(yīng)變一般都是包含著兩個部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置有關(guān)的應(yīng)變 （ 即所謂各點(diǎn)的變應(yīng)變 ） ；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的應(yīng)變 （ 即所謂的常應(yīng)變 ） 。 從物理意義上看 ， 當(dāng)單元尺寸無限縮小時 ， 每個單元中的應(yīng)變應(yīng)該趨于常量 。 因此 ， 在位移模式中必須包含有這些常應(yīng)變 ， 否則就不可能使數(shù)值解收斂于正確解 。 2021/11/12 42 平面問題有限元分析 總剛 收斂準(zhǔn)則 3） 位移模式在單元內(nèi)要連續(xù) 、 且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào) 。 當(dāng)選擇多項(xiàng)式來構(gòu)成位移模式時 ， 單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是得到滿足的 ， 單元間的位移協(xié)調(diào)性 ， 就是要求單元之間既不會出現(xiàn)開裂也不會出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象 。 通常 ， 當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上節(jié)點(diǎn)的位移時 ， 就可以保證位移的協(xié)調(diào)性 。 在有限單元法中 ， 把能夠滿足條件 1和 2的單元 ， 稱為 完備單元 ， 完備單元是收斂的必要條件 。 滿足條件 3的單元 ， 叫做協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元 。 前面討論過的三節(jié)點(diǎn)三角形單元 ， 均能同時滿足上述三個條件 ， 因此屬于 完備的協(xié)調(diào)單元 ， 完備的協(xié)調(diào)單元是收斂的充分條件 。 在某些梁 、 板及殼體分析中 ， 要使單元滿足條件 3比較困難 ， 所以實(shí)踐中有時也出現(xiàn)一些只滿足條件 1和 2的單元 ，其收斂性往往也能夠令人滿意 。 目前 ， 完備而不協(xié)調(diào)的單元 ， 已獲得了很多成功應(yīng)用 。 2021/11/12 43 平面問題有限元分析 總剛 收斂準(zhǔn)則 ? 在有限元分析中 ， 將實(shí)際連續(xù)體分成許多單元體的組合后 ， 根據(jù)線性或非線性位移的假定 ， 人為地選擇一個位移場， 通過這些措施所得到的 模型比實(shí)際連續(xù)體的剛性要高 。 ? 因而 ， 近似模型的剛度是實(shí)際連續(xù)體剛度的上界 。 若選擇不協(xié)調(diào)單元 ， 那么這種模型可能由于單元分離 、 疊加或單元之間形成鉸而降低剛性 ， 這種影響就有可能使得不協(xié)調(diào)元比應(yīng)用協(xié)調(diào)元所得的結(jié)果要好 。 不過 ， 應(yīng)用不協(xié)調(diào)單元事先不能肯定所得的剛度是真實(shí)剛度的上界 。 換句話說 ， 不協(xié)調(diào)元不一定象協(xié)調(diào)單元那樣剛硬 ， 可能比較柔軟 ， 因此有可能會比協(xié)調(diào)單元收斂得快 。 2021/11/12 44 平面問題有限元分析 總剛 收斂準(zhǔn)則 ? 經(jīng)驗(yàn)證明 ， 根據(jù) 巴斯卡 （ Pascal） 三角形來選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng) 。 在二維多項(xiàng)式中 ， 如果包含有對稱軸一邊的某一項(xiàng) ， 那么就必須同時包含有另一邊的對稱項(xiàng) 。 選擇多項(xiàng)式位移模式時 ， 還應(yīng)該要考慮的一個因素是 ， 多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù) 。通常是取項(xiàng)數(shù)與單元的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)相等 ，取過多的項(xiàng)數(shù)是不恰當(dāng)?shù)?。 2021/11/12 45 平面問題有限元分析 總剛 收斂準(zhǔn)則 對稱軸 常數(shù)項(xiàng) 線性項(xiàng) 二次項(xiàng) 三次項(xiàng) 四次項(xiàng) 五次項(xiàng) 223 2 2 34 3 2 2 3 45 4 3 2 2 3 4 5Cxyx x y yx x y x y yx x y x y x y yx x y x y x y x y y2021/11/12 46 平面問題有限元分析 總剛 收斂準(zhǔn)則