【正文】 ? 重復(fù)博弈中的戰(zhàn)略 ? 由于在重復(fù)博弈中，每個(gè)參與人在每個(gè)階段都必須行動(dòng)，因此重復(fù)博弈中的戰(zhàn)略是針對每個(gè)階段博弈如何行動(dòng)的行動(dòng)計(jì)劃 ? 如果博弈不是一次的，而是重復(fù)進(jìn)行的，參與人過去行動(dòng)的歷史是可以觀察到的，參與人就可以將自己的選擇依賴于其他人之前的行動(dòng)，因而有了更多的戰(zhàn)略可以選擇，均衡結(jié)果可能與一次博弈大不相同。 11 重復(fù)博弈 Ⅳ 8， 8 0， 10 10， 0 1， 1 坦白 抵賴 坦白 抵賴 ? AllD：不論過去什么發(fā)生，總是選擇不合作； ? AllC：不論過去什么發(fā)生，總是選擇合作； 合作 不合作交替進(jìn)行； ? titfortat：從合作開始，之后每次選擇對方前一階段的行動(dòng)； ? trigger strategies：從合作開始，一直到有一方不合作，然后永遠(yuǎn)選擇不合作。 ? 假定囚徒困境博弈重復(fù)多次或無限次；那么，每個(gè)參與人有多個(gè)可選擇的戰(zhàn)略。僅舉幾例： 11 重復(fù)博弈 Ⅴ ? 重復(fù)博弈中的子博弈 ? 從某個(gè)階段（不包括第一階段）開始，包括此后所有的重復(fù)博弈部分 ? 均衡路徑 ? 動(dòng)態(tài)博弈中各參與人的戰(zhàn)略組合對應(yīng)一條路徑，均衡戰(zhàn)略組合則對應(yīng)一條均衡路徑 ? 重復(fù)博弈中：路徑由每個(gè)階段博弈的戰(zhàn)略組合串聯(lián)而成。 11 重復(fù)博弈 Ⅵ ? 博弈的第 N個(gè)階段：雙方都會(huì)坦白 ? 逆向推理，在每一階段博弈：雙方都會(huì)坦白 ? 結(jié)論：無論博弈重復(fù)多少次，只要重復(fù)次數(shù)是有限次的，雙方在每一階段都會(huì)坦白。唯一的 SPNE為 ({坦白，坦白， … }， {坦白，坦白， … }) ? 有限次重復(fù)博弈 ? 例 1，囚徒困境博弈重復(fù) N次 11 重復(fù)博弈 Ⅶ ? 唯一的 SPNE為進(jìn)入者進(jìn)入，在位者默許 ? 假定在位者有 N個(gè)連鎖店 —— 博弈重復(fù) N次 ? 有限次重復(fù)博弈中，斗爭不是一個(gè)可置信戰(zhàn)略。因?yàn)槟嫦驓w納法得到唯一的 SPNE為在位者在每個(gè)市場選擇默許，進(jìn)入者選擇進(jìn)入。 打擊 進(jìn)入 (0,300) (40,50) (10,0) 默認(rèn) 不進(jìn)入 進(jìn)入者 在位者 Chain Store Paradox ? 市場進(jìn)入博弈 11 重復(fù)博弈 Ⅷ ? 定理： 如果階段博弈只有 唯一的納什均衡 ，那么重復(fù) N次的重復(fù)博弈唯一的子博弈納什均衡是，階段博弈的納什均衡重復(fù) N次。 ? 如果階段博弈有多個(gè)納什均衡，那么上述結(jié)論不再成立。 11 重復(fù)博弈 Ⅸ 三價(jià)博弈 ? 三價(jià)博弈的重復(fù)博弈 ? 2個(gè)純戰(zhàn)略 NE（ M,M）和（ L,L） ? 該三價(jià)博弈重復(fù) 2次 ,存在第一階段包含（ H， H）的 SPNE。 L M H 0， 2 0， 2 1， 1 H 廠商 2 M L 廠 商 1 3， 3 0， 6 2， 0 6， 0 5， 5 2， 0 ? 參與人 2 戰(zhàn)略：第一階段選擇 H；如果第一次看到結(jié)果為（ H,H），則第二次選擇 M。如果第一次結(jié)果為任意其他策略組合，則第二次選擇 L 觸發(fā) 策略：兩博弈方先試探合作，一旦發(fā)現(xiàn)對方不合作則也用不合作報(bào)復(fù) 11 重復(fù)博弈 Ⅹ L M H 0， 2 0， 2 1， 1 H 廠商 2 M L 廠 商 1 3， 3 0， 6 2， 0 6， 0 5， 5 2， 0 ? 第二階段（ M， M）實(shí)際上是原博弈的 NE，無人愿意偏離 ? 第一階段：如果有人單獨(dú)偏離（ H,H），采用 M能增加 1個(gè)單位支付，但在第二階段就會(huì)損失 2個(gè)單位支付 ? 雙方都采用觸發(fā)戰(zhàn)略構(gòu)成該博弈的SPNE L M H 1， 3 1， 3 2， 2 H 廠商 2 M L 廠 商 1 4， 4 1， 7 3， 1 7， 1 8， 8 3， 1 2次重復(fù)三價(jià)博弈的等價(jià)模型 11 重復(fù)博弈 Ⅺ ? (A,B)+(A,B) OR (B,A)+(B,A)—— (1,4)(4,1) ? 連續(xù)兩次采用混合策略 —— (2,2) ? 輪換策略： (A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A,B)—— (,) ? 一次純策略 +一次混合策略 —— (,3)(3,) 0， 0 4， 1 1， 3 3， 3 廠 商 1 廠商 2 B A A B 兩市場博弈 ? 該博弈存在 2個(gè)純戰(zhàn)略 NE（ A,B)、(B,A)和一個(gè)混合戰(zhàn)略 NE{(,)，(,)} ? 如果該博弈重復(fù)兩次，則存在許多均衡路徑 ? 兩市場博弈 11 重復(fù)博弈 Ⅻ ? 不同策略組合、均衡得益圖示 廠商 2 得益 廠商 1得益 (1,4) (3,3) (,) (2,2) (3,) (4,1) (,3) Pareto最優(yōu)結(jié)果 2次重復(fù)使博弈結(jié)果表現(xiàn)出更多的可能性，但與 Pareto最優(yōu)結(jié)果 11 重復(fù)博弈 (13) ? 兩市場博弈重復(fù)三次 ? 廠商 1：第一階段選 A；如果第一階段結(jié)果是（ A,A），則第二階段選擇 A,如果第一階段結(jié)果是（ A,B），則第二階段選 B,第三階段無條件選擇 B ? 廠商 2：第一階段選 A，第二階段選擇 B，如果第一階段結(jié)果是（ A,A），則第三階段選擇 A；如果第一階段結(jié)果是（ B,A），則第三階段選擇 B ? 均衡路徑為（ A,A） (A,B)(B,A)，第二、三階段本身就是 NE，無人愿意偏離；第一階段：若 1偏離，則在后面引起 2在第三階段報(bào)復(fù)，偏離不可??；若 2偏離，則引起 1在第二階段報(bào)復(fù)。 ? 雙方總的支付為：（ 3+4+1） /3= 是眾多 SPNE 中效率最高的均衡 11 重復(fù)博弈 (14) ? 有限次重復(fù)博弈的無名氏定理 ：設(shè)原博弈的一次性均衡有均衡支付向量 w，那么在博弈的有限次重復(fù)中，所有不小于個(gè)人理性支付的可行支付，都至少可通過有一個(gè) SPNE來實(shí)現(xiàn)。 ? w={wi},wi為 i在一次性博弈中最差的均衡支付 ? 當(dāng)原博弈有多個(gè)純戰(zhàn)略 NE時(shí)，有限次重復(fù)博弈存在許多效率差異很大的的 SPNE。 ? 設(shè)計(jì)特定的戰(zhàn)略，主要是包含報(bào)復(fù)機(jī)制的觸發(fā)戰(zhàn)略，實(shí)現(xiàn)效率較高的均衡，挖掘一次性博弈無法實(shí)現(xiàn)的合作利益。 11 重復(fù)博弈 (15) ? 兩市場博弈的可行支付集合 (1,1) (4, 1) (3,3) (1, 4) 個(gè)人理性（ individual rationality）支付 或保留 (reservation)支付 可行支付：所有純戰(zhàn)略組合的加權(quán)平均 11 重復(fù)博弈 (16) 8， 8 0， 10 10， 0 1， 1 坦白 抵賴 抵賴 ?? 冷酷戰(zhàn)略 (grim strategies)或觸發(fā)戰(zhàn)略 (trigger strategies) ? 開始選擇抵賴；如果對方也選擇抵賴，將繼續(xù)選擇抵賴；一旦對方選擇坦白，將永遠(yuǎn)選擇抵賴 ? 無限次重復(fù)中不能再用逆向歸納法求解 SPNE。 假設(shè)雙方貼現(xiàn)因子為 1 2 ? 無限次重復(fù)博弈 坦白 11 重復(fù)博弈 (17) 23 1( tr igg e r ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .. .1V ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?抵 ，23 8( tr igg e r ) 0 ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) .. .1V?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?坦 白 ，1811???? ? ???? 給定別人選擇觸發(fā)戰(zhàn)略且未首先選擇坦白， “ 我 ” 一直選擇抵賴的支付為 ? 給定別人選擇觸發(fā)戰(zhàn)略， “ 我 ” 選擇坦白的支付為 ? 給定別人選擇觸發(fā)戰(zhàn)略， “ 我 ” 一直選擇抵賴的條件是 18? ?當(dāng) 如果對方一直選擇抵賴， “ 我 ” 最好 “ 抵賴 ” 。 18? ?? 證明雙方采用觸發(fā)戰(zhàn)略是一個(gè) NE 對 δ的理解： 耐心程度； 博弈繼續(xù)的概率； 一般化：未來收益的重要程度 11 重復(fù)博弈 (18) ? 如果對方偏離 “ 抵賴 ” ， “ 我 ” 也必須選擇 “ 坦白 ” 懲罰對方。 ? “ 我 ” 對對方選擇觸發(fā)戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)是選擇同樣的觸發(fā)戰(zhàn)略 ? 雙方都選擇觸發(fā)戰(zhàn)略 是 NE。 ? 重復(fù)博弈的子博弈是是重復(fù)一定次數(shù)之后的全部重復(fù)博弈過程，那么無限次重復(fù)博弈的子博弈還是無限次重復(fù)博弈。因此，觸發(fā)戰(zhàn)略必然在子博弈上構(gòu)成 NE ? 觸發(fā)戰(zhàn)略組合構(gòu)成無限次重復(fù)博弈的 SPNE，均衡路徑就是 2個(gè)參與人在每個(gè)階段均選擇“抵賴”。 11 重復(fù)博弈 (19) ? 假定 ： ，邊際成本都為 2。 ? 在無限次重復(fù)古諾模型中，當(dāng)貼現(xiàn)率 滿足一定條件時(shí)，兩廠商采用下列觸發(fā)策略構(gòu)成一個(gè) SPNE： 21,8 qqP ???? 其中?? 無限次重復(fù)古諾模型 ? 在第一階段生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量的一半 ；在第 t 階段，如果前 t1 階段結(jié)果都是 (,)，則繼續(xù)生產(chǎn) ，否則生產(chǎn)古諾產(chǎn)量 2。 ? 設(shè)廠商 1已采用該觸發(fā)策略，若廠商 2也采用該觸發(fā)策略，則每期得益 ，無限次重復(fù)博弈總得益的現(xiàn)值為： ? ? ??? ????? 1 2 ?? 如果廠商 2偏離上述觸發(fā)策略，則他在第一階段所選產(chǎn)量應(yīng)為給定廠商 1產(chǎn)量為 ，自己的最大利潤產(chǎn)量，即滿足： 解得 ，此時(shí)利潤為 ，高于觸發(fā)策略第一階段得益 。 ? 但從第二階段開始，廠商 1將報(bào)復(fù)性地永遠(yuǎn)采用古諾產(chǎn)量 2，這樣廠商 2也被迫永遠(yuǎn)采用古諾產(chǎn)量，從此得利潤 4。因此，無限次重復(fù)博弈第一階段偏離的情況下總得益的現(xiàn)值為： ? ?? ? ? ? 2222 a a x222qqqqq qq ????? ?q11 重復(fù)博弈 (20) ? ? ???? ?????? 1 40 6 2 6 2 2 ?1791 ????? ???? 即? 當(dāng) 時(shí)，上述策略是廠商 2對廠商 1的同樣觸發(fā)策略的最佳反應(yīng)，否則偏離是最佳反應(yīng)。 11 重復(fù)博弈 (21) 11 重復(fù)博弈 (22) ? 無限次重復(fù)博弈的無名氏定理 （ Friedman1971)：在無限次重復(fù)博弈中，當(dāng)貼現(xiàn)因子足夠大時(shí)，任何帕累托優(yōu)于單階段博弈納什均衡的收益組合 (支付向量 )都可以實(shí)現(xiàn)，即都能夠成為子博弈精煉納什均衡結(jié)果。 ? 含義：在無限次重復(fù)博弈中，如果參與人對未來足夠重視（ 足夠大），那么，任何程度的合作都可以通過一個(gè)特定的子博弈精煉納什均衡得到。 ?11 重復(fù)博弈 (23) ? 囚徒困境博弈的可行支付集合 8， 8 0， 10 10， 0 1， 1 坦白 抵賴 坦白 抵賴 (10, 0) (8,8) (0,10) (1,1) 11 重復(fù)博弈 (24) ? 耐心程度； ? 博弈繼續(xù)的概率； ? 一般化：未來收益的重要程度 ? 對 δ 的解釋：