【正文】 ??????KKKKLKKq 3. 平均的排隊(duì)顧客數(shù) 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 66 )1(0)1( KKKe PPP ?????? ???eqKqqLPLw?? ??? )1( esKss LPLw?? ??? )1( n個(gè)顧客的概率 KnPP nn ,...,2,1,0 ?? ?167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 67 例 5 某理發(fā)店只有一個(gè)理發(fā)師，且店里最多可容納 4名顧客，設(shè)顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí) 5人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每 15分鐘可為 1名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關(guān)指標(biāo)。 解：該系統(tǒng)可以看成一個(gè) M/M/1/4排隊(duì)系統(tǒng)，其中 )/(5 小時(shí)人?? 4,145)/(41560 ?????? K???? ，小時(shí)人1 2 141)45(1451550 ???????P4440 1 . 2 5 0 . 1 2 2 0 . 2 9 8PP ?? ? ? ? ?顧 客 損 失 率 為 ：4( 1 ) 5 ( 1 0 . 2 9 8 ) 3 . 5 1 /e P?? ? ? ? ? ? ?有 效 到 達(dá) 率 為 ： （ 人 小 時(shí) ）167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 68 111)1(1 ??????? KKsKL????)( )14( 55人?????)()(1)1(1541人?????????????KKqKL?????)(6 9 小時(shí)???essLw?)( 小時(shí)???eqqLw?系統(tǒng)里平均顧客數(shù) = 平均的排隊(duì)顧客數(shù) 平均逗留時(shí)間 平均排隊(duì)時(shí)間 167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 69 167。 多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量有限制的排隊(duì)模型 這種排隊(duì)模型我們記為 M/M/C/K/∞ ，這與第九節(jié)單服務(wù)臺(tái)模型的 區(qū)別，就在于服務(wù)臺(tái)的數(shù)量為 C，我們可以把這個(gè)模型簡(jiǎn)記為 M/M/C/K。 在此系統(tǒng)中到達(dá)率與服務(wù)率分別為 : ???????KnKnn ,01, . . .1,0,??????????KnCCCnnn ,0,???, 0 , ,nn K CC ?? ? ? ??? ? ? ?n令 ， 則 對(duì) 任 意 令 有 ：?????????????????????????1,)]1(!)(!)([1,]1)(!!)([11011100????????CKCCnCCCnCPCCnnKCCCnn00(), 1 , 2 , . . . 1!, , 1 , . . .!nn CnCP n CnPCP n C C KC?????????? ???? n個(gè)顧客的概率 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 70 ???? KCnnq PL )( 1020()[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ] , 1! ( 1 )()( ) ( 1 ) , 12!CK C K Cn CPCKCCPPCK C K CC??? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???)1( kqs PLL ??? ? )1(0)1( kkke PPP ?????? ??? eqkqq PLW??? ??? )1( eskss PLW??? ??? )1( 特別地，當(dāng) k=c時(shí)即為第七節(jié)的 M/M/C/C/∞ 的模型。 167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 71 例 6 某公司維修服務(wù)中心有兩名維修工，中心內(nèi)至多可以停放 6臺(tái)機(jī) 器（包括正在維修的兩臺(tái)機(jī)器）。假設(shè)待修機(jī)器按泊松分布過(guò)程到達(dá)此中 心。平均每小時(shí) 3臺(tái)。維修每臺(tái)機(jī)器平均需要 20分鐘，試求該系統(tǒng)的各項(xiàng) 性能指數(shù)。 解：該子系統(tǒng)可看成一個(gè) M/M/2/6排隊(duì)系統(tǒng) 15100542046660 13 / 3 /20 2 21 1 ! 2 ! ( 1 ) 1 ( 1 ) 5 2 ! ( 1 )11( 1 ) 2 2 2 16( 1 )3 ( 1 )nqsqssqqPnLL L PLWPLWP?? ? ?????? ? ? ? ??? ?? ? ?????????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ?????其 中 （ 臺(tái) 小 時(shí) ） （ 臺(tái) 小 時(shí) ） ， 則 有 ：（ 臺(tái) ）（ 臺(tái) ）（ 小 時(shí) ） （ 分 鐘 ） 6?? （ 小 時(shí) ） （ 分 鐘 ）167。 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 72 167。 * 生滅過(guò)程及生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng) 1. 生滅過(guò)程 生滅過(guò)程是一類(lèi)非常簡(jiǎn)單具有廣泛應(yīng)用的一類(lèi)隨機(jī)過(guò)程，很多排隊(duì) 模型中都假設(shè)其狀態(tài)過(guò)程為生滅過(guò)程；這樣的排隊(duì)子系統(tǒng)如： M/M/C和 M/M/C/R，我們也可稱(chēng)之為生滅過(guò)程的排隊(duì)系統(tǒng)。在這樣的排隊(duì)系統(tǒng)中， 一個(gè)新顧客的到達(dá)看作“生”，一個(gè)顧客服務(wù)完之后離開(kāi)系統(tǒng)看作是 “死”，設(shè) N(t)的任意時(shí)刻 t排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)（即排隊(duì)子系統(tǒng)中的總顧客 數(shù)），則對(duì) M/M/C/K系統(tǒng) N(t)具有有限個(gè)狀態(tài) 0， 1， ?,k, 對(duì) M/M/C來(lái)說(shuō) N(t)具有可列個(gè)狀態(tài) 0， 1， 2? 。 一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程 滿足以下條件，稱(chēng)為生滅過(guò)程： 1) 假設(shè) N(t)=n，則從時(shí)刻 t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻為止的時(shí)間服 從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布， n=0,1,2,? 2) 假設(shè) N(t)=n，則從時(shí)刻 t起到下一個(gè)顧客離去時(shí)刻為止的時(shí)間服 從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布， n=0,1,2,? 3) 同一時(shí)刻時(shí)只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。 ? ? 0()tNt?n?n?管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 73 2. 生滅過(guò)程穩(wěn)態(tài)方程 ???????????? 1,)(11110011npppppnnnnnnn ??????????????????????? 11010101nPPPnnn ??????方程為： 由此可求得生滅過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài)分布： 10????n nP 110 ??????????? nPPP10101012010100 ?????????????? ? PPPXPnn?????????11 0010 1???????????????????? ?n nnP????由于 即有 即有 即有 167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 74 ????? ???????1 001n nn????即當(dāng) 時(shí)，此生滅過(guò)程存在平穩(wěn)狀態(tài)分布： ? ?11001 01 2 0011113 1, 1 , 2 ,nn nnnnnnPP P n????? ? ?? ? ????????? ?? ???? ???????? ????????? ? ? ? ???????167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 75 M/M/C和 M/M/C/K排隊(duì)系統(tǒng)，顧客到達(dá)間隔服從 參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，顧客在系統(tǒng)中服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，并滿足生滅過(guò)程的其他條件。它們都是生滅過(guò)程的排隊(duì)系統(tǒng)，我們都可以從生滅過(guò)程的平衡方程來(lái)推導(dǎo)出這些排隊(duì)公式。我們以 M/M/1系統(tǒng)為例進(jìn)行推導(dǎo)。在這個(gè)系統(tǒng)中， ? ?0???? ?0???10110 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 ,1 3 11111111 ( 1 )nnnnnnnnnnPP? ? ? ???????????? ? ???????? ? ? ?????? ? ? ? ? ????????? ? ? ???令 ， 則 由 可 知 ：當(dāng) 時(shí)167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 76 同時(shí)也可計(jì)算出此系統(tǒng)的其他性能指標(biāo) : 2 3 2 3 40012321 1 1( 1 )( 1 ) ( 2 3 .. .) ( 2 3 .. .).. . , 0 11:( 1 )1()nsnnsq n n n sn n nL n P nLL n P n P P LW? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??????? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?q在 系 統(tǒng) 中 的 平 均 顧 客 數(shù) ：或(2) 排 隊(duì) 平 均 顧 客 數(shù) L關(guān) 于 顧 客 在 系 統(tǒng) 中 逗 留 時(shí) 間 隨 即 變 量 在 M/M/1 情 況 下 ， 他 服 從 參 數(shù) 為 ()()( ) 1 , 0( ) ( )wwF w e wf w e???????????? ? ???的 負(fù) 指 數(shù) 分 布 ， 即 ：分 布 函 數(shù)概 率 密 度于 是 得 ：167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 77 ()0( 3 ) :1[ ] ( )( 4 ) :1 1 1swsqqsWw E w w e d wWww???????? ? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ? ????在 系 統(tǒng) 中 顧 客 平 均 逗 留 時(shí) 間在 系 統(tǒng) 中 顧 客 花 在 排 隊(duì) 上 的 平 均 時(shí) 間同樣我們也可用生滅過(guò)程的平衡方程推導(dǎo)出 M/M/1/K系統(tǒng)的公式。 在這個(gè)系統(tǒng)中 , ???????knknn ,01, . . .2,1,0,??knn , . . . ,2,1, ?? ??167。 * 管 理 運(yùn) 籌 學(xué) 78 110010 100013 1 , 0 ,1,11[ 1 ] 1 , 2 , ,1,11111, 1 , 2 , ...111, 1 , 2 , ...nnkkjnnjknnnnnkP P P n kkPP P n kPkP P n k?? ? ? ??????????????????? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????????????????????????????令 ， 則 由 ， 對(duì) 任 意 令 ， 得 ：；于 是 當(dāng) 時(shí) ， 該 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 分 布 為 ：當(dāng) 時(shí) ， 該 系 統(tǒng) 的 狀 態(tài) 分 布 為 ： 利用上面給出的平穩(wěn)狀態(tài)的分布，即可推出此系統(tǒng)的其他性能指標(biāo)。這些指標(biāo)我們已經(jīng)在前面告訴大家了（計(jì)算過(guò)程從略）。 167。 *