1675二次型及其標準型-資料下載頁
2024-09-29 19:05本頁面
【導讀】在解析幾何中，為了便于研究二次曲線。的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q：。把方程化為標準形。的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學的觀點看，這樣的問題，在許多理論問。題或是實際問題中常會遇到。次多項式的化簡問題。定義1：含有n個變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)。2）A=,若aij為復數(shù)，稱f為復二次型；3)A=,若aij為實數(shù)，稱f為實二次型；例1.把下面的二次型寫成矩陣形式；為二次型的標準型（或法式）。矩陣，則B亦為對稱矩陣，且R=R。CTAC仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。陣A，總有正交矩陣P,使PTAP=∧.把此結(jié)論用于二次型，
【正文】 ，且二次型的秩不變。要使二次型 f 經(jīng)過可逆變換 x=C y化成標準形，即使 f = x TAx ? ?T T T2 2 21 1 2 2112212T()C y A C y y C A C yyy ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??nnnnnλ y λ y λ yλyλyy y yλy 也就是要使 C TAC 成為對角陣，即， C TAC=∧ ， 因此，我們主要的問題就是：對于對稱矩陣 A ， 尋求可逆矩陣 C ， 使 C TAC=∧ . 由上節(jié)定理 8 知 , 任給實對稱矩陣 A， 總有正交矩陣 P,使 PTAP =∧ . 把此結(jié)論用于二次型，即有： 定理 10. 任意 二次型 ? ?? ??ninjjiijn xxaxxxf1 121 ),( ?2 2 21 1 2 212( ) , ,x P y A .??? ? ? ?，總有正交變換 使 化為標準型其中 ， ， 是 的矩陣 的 個特征值ij jinnna a ff y y yfn? ? ?? ?
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