非標(biāo)準(zhǔn)分析——經(jīng)典數(shù)學(xué)的一種延伸-資料下載頁(yè)
2025-09-19 08:22本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問題。及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。關(guān)鍵問題就是無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。展開及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立。了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。是一個(gè)固定的量，而是以零為極限的變量。沒有影響的結(jié)果的正確性。，是無窮小，那么如也有無限多個(gè)無窮小，中的數(shù)，稱為無窮小。可以認(rèn)為，NSA實(shí)際上是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分析進(jìn)行?？?jī)便是延續(xù)數(shù)學(xué)史上擴(kuò)張數(shù)系的研究。令人奇怪的是，在直線上塞進(jìn)無理數(shù)之后，相等，或幾乎處處相等和，則稱。富的點(diǎn)集，又保有良好
【正文】 ]][)[(n1112121???????????????????????????????）中成立（在成立的充要條件是）（中則在設(shè)為僅有的自由變?cè)?，又的一個(gè)有界公式，其中）是（定理）設(shè)（為有界的。的常詞，則稱這一公式為、其中出現(xiàn)：在以下形式中一個(gè)公式的每個(gè)量詞總定義（有界公式）如果XAMAMXVXVAAxxxLxxxL o sLBABxxAxxnuNnnn）成立。（在）成立，從而：（在由歸納假設(shè)，）中成立（在則，則出中任意實(shí)體，如此構(gòu)造為命對(duì)于某個(gè)選取對(duì)于每個(gè)）中成立（在，設(shè)次證）中成立（在封閉性，由超濾對(duì)超集的）中成立（在，根據(jù)假設(shè)，在，使得個(gè)成立，那么如果存在某中在中成立，即設(shè)在，設(shè)先證，）定理真，對(duì)于，（假定對(duì)于歸納證明的關(guān)鍵步驟：XAMAMxBxXAMAMBAMXXVAXTXXXVAMAMAMBAMXVAMAMxBxXVAMAMxBxAMAMxxxxnnuNnnnnn*V))()(,(*)(*V))()((*)((u,}V( k ) )A( k ) ,(ABA( k )|N{k,/)(ABA( k )T,kA( k ) ,T,ku,}V( k ) )A( k ) ,(A|N{ku}V( k ) )A( k ) ,(A|N{ku}V( k ) )A( k ) ,(A|N{k)(*))()(),((*)()(*))()(,(*)()(*))()(,)()* ( ())(),((*,1111n11n1n1n1111111111?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????真。真等價(jià)于所以中在由于成立成立的充要條件是在定理，沒有自由變?cè)?，由由于證成立。在轉(zhuǎn)換中成立的條件是其在中是有界語(yǔ)句，則在形式語(yǔ)言的一個(gè)陳述，如果是超結(jié)構(gòu)設(shè)推論（轉(zhuǎn)換原理）??????????????*,)(u,}|N{n)(**)(***)()(NSi f fXVSXVL o sXVXVLXV轉(zhuǎn)換原理的基本運(yùn)用 ）（∽∽非標(biāo)準(zhǔn)證明：收斂，則減級(jí)數(shù)定理）如果正項(xiàng)單調(diào)遞③（∽例：上成立，在上的基本代數(shù)運(yùn)算規(guī)則由轉(zhuǎn)換原理，②中成立。在轉(zhuǎn)換：其性可表達(dá)成語(yǔ)句：的的。有序的，而是不是①NNwwaawanaaOl i v i e rfxxfRRxystxfXVnyxNnnRyRxnyxNnnRyRxA r c h i m e d e sRA r c h i m e d e sA r c h i m e d e swwwnnn????????????????????????????????????????????????*0]2/[004422*222)2()2(39。)(*)()(39。)*(]*)[)(*)(*(*])[)()((*R*2/1222222? 上述僅僅是非標(biāo)準(zhǔn)分析 NSA的幾個(gè)最最基礎(chǔ)的應(yīng)用。事實(shí)上， NSA可以覆蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)的近乎全部分支，經(jīng)典數(shù)學(xué)的很多成果運(yùn)用 NSA方法可以異常簡(jiǎn)便的得到。 ? 除了作為研究標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)的工具， NSA本身對(duì)無窮的引入，亦開辟了數(shù)學(xué)、哲學(xué)研究的廣闊新天地。 NSA尚未被廣泛認(rèn)可和應(yīng)用的原因 ? 一些人認(rèn)為，對(duì)于經(jīng)典數(shù)學(xué)而言， NSA能夠得到的結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)方法應(yīng)該也都能得到，而大家已經(jīng)習(xí)慣了經(jīng)典方法。 ? 不同于有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的擴(kuò)充。非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)系的擴(kuò)充本身是不同構(gòu)的（盡管這不影響我們得到一些很好的結(jié)果），而且尚未找到很好的幾何、物理模型。 ? 一些數(shù)學(xué)工作者對(duì)邏輯領(lǐng)域成果的忽視。 算數(shù)從整數(shù)開始，繼而通過添加有理數(shù)和負(fù)數(shù)以及無理數(shù)等，逐次擴(kuò)大了數(shù)系，但在實(shí)數(shù)之后，下一個(gè)自然擴(kuò)張，即添加無窮小，竟被完全忽略了，在微積分發(fā)明長(zhǎng)達(dá)三百年之后，第一個(gè)嚴(yán)格的無窮小理論始發(fā)起來，我認(rèn)為，在未來的世紀(jì)里，后代將會(huì)把這一延誤看作一件咄咄怪事。 未來的分析學(xué)將是某種 NSA! —— 哥德爾 that39。s all,thank you!
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