【正文】 聲信號(hào)中，包含著一定數(shù)量的周期分量。如果齒輪產(chǎn)生缺陷，則其振動(dòng)或噪聲信號(hào)還將大量增加諧波分量及所謂的邊帶頻率成分。 什么叫邊帶頻率，它又是如何產(chǎn)生的？ 設(shè)在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中有兩個(gè)頻率 w1 與 w2 存在，在這二頻率的激勵(lì)下，機(jī)械振動(dòng)的響應(yīng)呈現(xiàn)出周期性脈沖的拍，也就是呈現(xiàn)其振幅以差頻 ( (w2 w1)設(shè) w2w1 )進(jìn)行幅度調(diào)制的信號(hào)，從而形成拍的波形，這種調(diào)幅信號(hào)是自然產(chǎn)生的。例 如調(diào)幅波起源于齒輪嚙合頻率 (齒數(shù)軸轉(zhuǎn)數(shù) )w0 的正弦載波，其幅值由于齒輪之偏心影響成為隨時(shí)間而變化的某一函數(shù) Sm(t) ，于是 : () 假設(shè)齒輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為 wm ，則可寫成 : （ ） 29 其圖形如圖 ()所示，看起來(lái)象一周期函數(shù)，但實(shí)際上它并非是一個(gè)周期函數(shù)，除非 w0 與 wm 成整倍數(shù)關(guān)系，這在實(shí)際應(yīng)用中，這種情況并不多見(jiàn)。根據(jù)三角半角關(guān)系， ()式可寫成： （ ） 從 ()式不難看出，它是由 w0， (w0 +wm)與 (w0wm )三個(gè)不同的正弦波之和，具有如圖 )之頻譜圖。這里 (w0 wm )與 (w0 +wm )之差頻與和頻通稱為邊帶頻率。 假如上例中對(duì)于一個(gè)具 有四個(gè)輪幅的 100 個(gè)齒的齒輪，其軸準(zhǔn)轉(zhuǎn)數(shù)為 50轉(zhuǎn) /秒，而其嚙合頻率 5000Hz。其幅值 (嚙合力的大小 ) 則由每轉(zhuǎn)四次的周期為 200HZ 所調(diào)制 (因?yàn)橛兴膫€(gè)輪幅的影響 )。所以在測(cè)得的振動(dòng)分量中，不僅有明顯的軸轉(zhuǎn)數(shù)50HZ 及嚙合頻率 (5000HZ) 外，還有 4800HZ 及 5200HZ 的邊帶頻率。 實(shí)際上，如果齒輪缺陷嚴(yán)重或多種故障存在，以致許多機(jī)械中經(jīng)常出現(xiàn)的不對(duì)準(zhǔn)、松動(dòng)、及非線性剛度等原因，或者出現(xiàn)拍波截?cái)嗟仍驎r(shí)，則邊帶頻率將大量增加。 在一個(gè)頻譜圖上出現(xiàn)過(guò)多的頻差，難以識(shí)別，而倒頻譜圖則有利于識(shí)別，如圖 所示。圖 (a)是一個(gè)減速箱的頻譜圖，圖 (b)是它的倒頻譜圖。從倒譜圖上清楚地看出，有兩個(gè)主要頻率分量 :(85ms)及 ()。 30 時(shí)頻分析法 傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法 1 短時(shí)傅立葉變換 這是一種最基本的時(shí)頻分析方法。由于其依賴于傳統(tǒng)的傅 立葉譜分析，因此假定待分析數(shù)據(jù)是分段平穩(wěn)的。此外，其時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最佳，這就是關(guān)于時(shí)頻關(guān)系的不確定性原理。 2 WignerVille 分布 WignerVille 分布屬于二次時(shí)頻分析，是信號(hào)在時(shí)頻平面上的聯(lián)合功率譜。它克服了短時(shí)傅立葉分析的上述缺點(diǎn)，它的分辨率很高，但分析多分量信號(hào)時(shí)，存在嚴(yán)重的交叉干擾項(xiàng)，目前雖有許多消除交又干擾項(xiàng)的方法提出，但大都是以降低分辨率為代價(jià)的。 3 小波分析 實(shí)際上是一種可調(diào)窗的傅立葉譜分析，它巧妙地解決了短時(shí)傅立葉變換分辨率的不足?？筛鶕?jù)不同情況， 選擇不同的時(shí)頻分辨率。該方法對(duì)于分析頻率緩變的信號(hào)效果很好。 雖然小波分析用途很多，但最常用的 Morlet 小波由于其基本小波函數(shù)的有限長(zhǎng)度，導(dǎo)致了能量的泄漏，這使得定量的時(shí)頻分析變得 31 困難。有時(shí)，對(duì)通過(guò)小波分析得到的時(shí)頻分析的解釋也有違常規(guī)，如為了確定事件發(fā)生的具體位置，必須在高頻段來(lái)尋找〔頻率越高，其時(shí)間精度才越高〕。若一個(gè)局部事件發(fā)生在低頻段，仍需被迫到高頻段才能找出它的痕跡，這種方法有時(shí)會(huì)造成混淆。小波分析的另一個(gè)問(wèn)題是其不具有自適應(yīng)性的特點(diǎn)。一旦基本小波被選定就必須用它來(lái)分析所有待分析數(shù)據(jù)。由于常用的 Mortet 小波是基于傅立葉分析的，因此它也具有傅立葉分析的一些缺點(diǎn)。另外，它可以分析出頻率緩慢變化的波間頻率調(diào)制，但不能分析出波內(nèi)頻率調(diào)制，這是因?yàn)榛拘〔ㄊ怯蓭讉€(gè)波長(zhǎng)組成的。 基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解及其希爾伯特變換譜 Huang于 1996 年提出了一種新的時(shí)頻分析方法。用它分析數(shù)據(jù)共需兩個(gè)基本步驟：首先，用一種信號(hào)分解方法把信號(hào)分解成一些基本模式分量。接著，對(duì)分解得到的基本模式分量進(jìn)行希爾伯特變換，從而得出時(shí)頻平面上的能量分布譜圖 (希爾伯特譜 )。 1 瞬時(shí)頻率與希爾伯特變換 對(duì)任何處理非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí) 頻分析方法，頻率必須是時(shí)間的函數(shù) 。 因此，必須定義瞬時(shí)頻率。對(duì)任意時(shí)間序列 X(t)，可得到它的希爾伯特變換 Y(t)為 : ? ? ? ?1 XY t dt ? ???????? ?? ? ? ? ?1 YX t dt? ???????? ?? （ 1） 這一變換對(duì)所有 pL 類存在。通過(guò)這一定義， ??Xt 與 ??Yt形成一個(gè)復(fù)共軛對(duì)，從而得到一個(gè)解析信號(hào) ??Zt： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?itZ t X t iY t a t e ?? ? ? （ 2） 其中： ? ? ? ? ? ? 1222a t X t Y t?????? （ 3） ? ? ? ?? ?arctan Ytt Xt? ? （ 4） 由此，定義瞬時(shí)頻率 ? 為： 32 ??dtdt??? （ 5） 由于等式 (5)是時(shí)間的單值函數(shù)，所以在使用瞬時(shí)頻率這一概念時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)應(yīng)受到一定的 限制。由于在任何時(shí)刻只有一個(gè)頻率值，所以此時(shí)刻只有一個(gè)分量。對(duì)任一信號(hào)，為了得到一個(gè)有意義的用希爾伯特變換定義的瞬時(shí)頻率， Huang(1996)提出了一類滿足下面兩個(gè)條件的稱為基本模式分量的函數(shù)： (1)在整個(gè)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)量與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)量必須相等，或最多相差不能多于一個(gè) ； (2)在任何時(shí)間點(diǎn)上，被它的局部最大值與局部最小值定義的包絡(luò)的均值必須是零。 2 基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解 (EMD)及希爾伯特時(shí)頻譜 由于大多數(shù)信號(hào)不是基本模式分量，任何時(shí)刻，信號(hào)中可能包含不只一個(gè)振蕩模式。因此，必須把信號(hào)分解為基本模式 分量。 Huang(1996)提出了把信號(hào)分解為基本模式分量的算法 —— 基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解 (EMD)算法，也被稱為篩選過(guò)程，思路如下 : 找到信號(hào)中的所有局部極值點(diǎn)，其中所有的局部最大值被一個(gè)三次樣條連接成為上包絡(luò)，同理，局部最小值產(chǎn)生下包絡(luò)，上下包絡(luò)應(yīng)將所有的數(shù)據(jù)都包含在它們之間。上下包絡(luò)線的均值定義為 1m ，而原始信號(hào)與 1m 的差值被定義為分量 1h ，則： ? ? 11X t m h?? （ 6） 理想情況下， 1h 應(yīng)是一個(gè)基本模式分量。然而，實(shí)際上對(duì)于非線性數(shù)據(jù)，包絡(luò)均值可能不同于真實(shí)的局部均值，結(jié)果，一些非對(duì)稱波仍可能存在。篩選過(guò)程主要有兩個(gè)作用：一是去除疊加波，二是使波形更加對(duì)稱。為了達(dá)到這個(gè)效果，該過(guò)程可以被重 復(fù)多次。在第二次過(guò)濾處理中，分量 1h 被當(dāng)作待處理數(shù)據(jù)，于是： 1 11 11h m h?? (7) 可以把處理過(guò)程重復(fù) k 次，直到 h 是一個(gè)基本模式分量，于是： ? ? 1111 kkkh m h? ?? (8) 定義： 11khc? (9) 則 1c 就是從原始數(shù)據(jù)中處理得到的第一個(gè)基本模式分量。 然而，過(guò)多地重復(fù)該處理過(guò)程會(huì)導(dǎo)致基本模式分量變成純粹的頻率調(diào)制信號(hào)，而其幅度變成為恒定的。為了保證基本模式分量保存足夠的反映物理實(shí)際的幅度與頻率調(diào)制，必須確定一個(gè)篩選過(guò)程停止的準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則可 以通過(guò)限制兩個(gè)連續(xù)的處理結(jié)果之間的標(biāo)準(zhǔn)差的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)。 總之， 1c 中應(yīng)包含原始信號(hào)中最短的周期分量從原始信號(hào)中分離出分量。得到 : ? ? 12X t c r?? ( 10 ) 由于剩余部分 1r 仍然包含較長(zhǎng)周期分量的信息，所以 1r 仍被當(dāng)作新的數(shù)據(jù)按以上相同的處理過(guò)程來(lái)處理。該處理過(guò)程可對(duì)所有的接下來(lái)的剩余分量 jr 進(jìn)行處理，得到如下結(jié)果 : 1 2 22 3 31n m nr c rr c rr c r??????? （ 11） 33 這個(gè)處理過(guò)程在滿足以下任一條件后即可停止 : 當(dāng)分量 nc 或剩余分量 nr ，變成小到比預(yù)定值小時(shí) ； 或當(dāng)剩余分量 nr 變成單調(diào)函數(shù)，而從中不能再篩選出基本模式分量時(shí)。即使原信號(hào)數(shù)據(jù)具有全局零均值，其最后的剩余分量仍可能不是零 ； 對(duì)于有趨勢(shì)的數(shù)據(jù)，其剩余分量就應(yīng)該是該趨勢(shì)。將等式 (10)與等式 (11)相加，最終得到 : ? ? 0n iniX t c r???? （ 12） 于是，到此已經(jīng)把原始數(shù)據(jù)分解成 n 個(gè)基本模式分量，及一個(gè)剩余分量 nr ，該剩余分量或者是一個(gè)平均趨勢(shì)或者是一個(gè)常數(shù)。 最后，對(duì)每一個(gè)分量進(jìn)行希爾伯特變換，再根據(jù)等式 (5)計(jì)算出瞬時(shí)頻率。對(duì)每一個(gè)基本模式分量進(jìn)行希爾伯特變換之后，可以把數(shù)據(jù)表示成下面的形式： ? ? ? ? ? ?1 jn i t tjjX t a t e ??? ? （ 13） 從上式可以看出，每一個(gè)基本模式分量可以是幅度或頻率調(diào)制的。可變的幅度與瞬時(shí)頻率不但很大地改進(jìn)了信號(hào)分解或展開的效率，且使這種分解方法可以處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。通過(guò)基于基本模式分量的信號(hào)展開，幅度與頻率調(diào)制也被清楚地分開從而打破了固定幅度與固定頻率的傅立葉變換的限制，得到了一個(gè)可變幅度與可變頻率的信號(hào)描述方法。 實(shí)際上，該方法得到了一個(gè)用于信號(hào)分解的自適應(yīng)的廣義基，從信號(hào)分配基函數(shù)理論角度來(lái)說(shuō)，上述分解方法是在基函數(shù)理論上的一種創(chuàng)新。因?yàn)樵撔盘?hào)分解方法中，基函 數(shù)是依賴于信號(hào)本身的，也就是自適應(yīng)的，不同的信號(hào)分解后的基函數(shù)是不同的。該基函數(shù)不同于傅立葉分解中的基函數(shù)，傅立葉分解的基是一系列恒定幅度與恒定頻率的正余弦函數(shù) ； 也不同于小波分解中的基函數(shù)，小波分解的基函數(shù)是預(yù)先確定的，由于分解的效果取決于基函數(shù)的選擇，所以不能保證最優(yōu)的分解效果。而該種分解方法的基函數(shù)是一系列可變幅度與可變頻率的正余弦函數(shù)，它是由信號(hào)中自適應(yīng)得到的，可以得到很好的分解效果。 在這種時(shí)頻分析方法中，主要概念性的創(chuàng)新就是基于信號(hào)局部特征的分解方法的引人，它的引人使得瞬時(shí)頻率這一概念具有了實(shí)際的 物理意義，同時(shí)也使這一方法不同于用很多諧波分量來(lái)代表復(fù)雜的非線性與非平穩(wěn)信號(hào)的傳統(tǒng)方法，如傅立葉變換，也不同于小波變換中尺度的頻率定義方法，而是與頻率的經(jīng)典定義法〔信號(hào)相位的導(dǎo) )相一致。從而可以給出信號(hào)頻率變化的精確表達(dá)所以，它可用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的處理，而且是一種分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的通用方法。 3 該方法研究的有關(guān)問(wèn)題 基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解 (EMD) 算法雖然很有效，但由于是一種新的信號(hào)分析方法，正在迅速發(fā)展之中，因此還有許多工作需要去做，至少對(duì)下述問(wèn)題的研究是有意義的 在這種新的時(shí)頻分析方法中。其 關(guān)鍵是信號(hào)分解算法，它的好壞直接影響到信號(hào)分解的精度 EMD 分解技術(shù)對(duì)于分析實(shí)際廣泛存在的非線性與非平穩(wěn)性現(xiàn)象十分有效，但也存在一些問(wèn)題。首先，在計(jì)算局部最大值與局部最小值定義的包絡(luò)的均值時(shí)，用到了兩次三次樣條插值。三次樣條插值帶來(lái)的問(wèn)題是過(guò)沖和欠沖。其次，樣條插值在信號(hào)的兩個(gè)端點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)大的擺動(dòng)，因?yàn)樾盘?hào)的兩個(gè)端點(diǎn)可能不是局部極值點(diǎn)。這種擺動(dòng)可能會(huì)傳播到信號(hào)數(shù)據(jù)的中間段并破壞整個(gè)數(shù)據(jù)特性。 Yu 提出了一種改進(jìn)方法 —— 基于信號(hào)時(shí)域局部特征的自適應(yīng)時(shí)變?yōu)V波分解算法 (ATVFD)，取得了一定的效果，但基于基本模式 分量的信號(hào)分解算法的進(jìn)一步研究是非常必要的。 34 4 希爾伯特譜的邊界譜特性 由上述方法得到希爾伯特時(shí)頻譜之后，我們可得到它的邊界譜邊界譜表達(dá)了每個(gè)頻率在全局上的幅度 (或能量 )貢獻(xiàn)，它代表了在統(tǒng)計(jì)意義上的全部數(shù)據(jù)的累加幅度。在邊界譜中某一頻率僅代表有這樣頻率的信號(hào)存在的可能性。而在傅立葉表達(dá)中，在某一頻率 ? 處能量的存在，代表一個(gè)正弦或余弦波在整個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度上都存在。有關(guān)邊界譜特性用于實(shí)際復(fù)雜信號(hào)與數(shù)據(jù)的物理解釋還需進(jìn)一步的研究。 一個(gè) 過(guò)程或者是平穩(wěn)的或者是非平穩(wěn)的 。 我們只能是定性地描述它的平穩(wěn)性。因?yàn)閭鹘y(tǒng)平穩(wěn)性的定義太嚴(yán)格而且用處不大，很少有數(shù)據(jù)能夠滿足如此嚴(yán)格的定義，結(jié)果是很少有人會(huì)用它來(lái)檢測(cè)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。為了進(jìn)行定量分析，需要一個(gè)指數(shù)來(lái)表明信號(hào)的平穩(wěn)性偏差到底有多大。用上述方法得到信號(hào)的時(shí)頻表達(dá)之后，可以對(duì)信號(hào)的平穩(wěn)性度量進(jìn)行定義。信號(hào)平穩(wěn)性度量的定義及應(yīng)用的進(jìn)一步研究將是很有意義的。 在得到復(fù)雜信號(hào)的基本模式分量之后，除了計(jì)算瞬時(shí)頻率和希爾伯特時(shí)頻譜之外，可以結(jié)合其它的信號(hào)分析方法來(lái)進(jìn)一步研究，如在 EMD 信號(hào)分解的基礎(chǔ)上建立非線性 、非平穩(wěn)模型等等。 復(fù)雜信號(hào)經(jīng)過(guò)分解后，可得到多個(gè)基本模式分量，從每個(gè)基本模式分量上也能看出一些有用信息有關(guān)復(fù)雜信號(hào)分解得到的基本模式分量所代表的實(shí)際信號(hào)的物理解釋 ,還需進(jìn)一步探討。