【正文】 。 在得到復(fù)雜信號(hào)的基本模式分量之后，除了計(jì)算瞬時(shí)頻率和希爾伯特時(shí)頻譜之外，可以結(jié)合其它的信號(hào)分析方法來進(jìn)一步研究，如在 EMD 信號(hào)分解的基礎(chǔ)上建立非線性 、非平穩(wěn)模型等等。用上述方法得到信號(hào)的時(shí)頻表達(dá)之后，可以對(duì)信號(hào)的平穩(wěn)性度量進(jìn)行定義。因?yàn)閭鹘y(tǒng)平穩(wěn)性的定義太嚴(yán)格而且用處不大，很少有數(shù)據(jù)能夠滿足如此嚴(yán)格的定義，結(jié)果是很少有人會(huì)用它來檢測數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。 一個(gè) 過程或者是平穩(wěn)的或者是非平穩(wěn)的 。而在傅立葉表達(dá)中，在某一頻率 ? 處能量的存在，代表一個(gè)正弦或余弦波在整個(gè)時(shí)間長度上都存在。 34 4 希爾伯特譜的邊界譜特性 由上述方法得到希爾伯特時(shí)頻譜之后，我們可得到它的邊界譜邊界譜表達(dá)了每個(gè)頻率在全局上的幅度 (或能量 )貢獻(xiàn)，它代表了在統(tǒng)計(jì)意義上的全部數(shù)據(jù)的累加幅度。這種擺動(dòng)可能會(huì)傳播到信號(hào)數(shù)據(jù)的中間段并破壞整個(gè)數(shù)據(jù)特性。三次樣條插值帶來的問題是過沖和欠沖。其 關(guān)鍵是信號(hào)分解算法，它的好壞直接影響到信號(hào)分解的精度 EMD 分解技術(shù)對(duì)于分析實(shí)際廣泛存在的非線性與非平穩(wěn)性現(xiàn)象十分有效，但也存在一些問題。從而可以給出信號(hào)頻率變化的精確表達(dá)所以，它可用于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的處理，而且是一種分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的通用方法。而該種分解方法的基函數(shù)是一系列可變幅度與可變頻率的正余弦函數(shù)，它是由信號(hào)中自適應(yīng)得到的，可以得到很好的分解效果。因?yàn)樵撔盘?hào)分解方法中，基函 數(shù)是依賴于信號(hào)本身的，也就是自適應(yīng)的，不同的信號(hào)分解后的基函數(shù)是不同的。通過基于基本模式分量的信號(hào)展開，幅度與頻率調(diào)制也被清楚地分開從而打破了固定幅度與固定頻率的傅立葉變換的限制，得到了一個(gè)可變幅度與可變頻率的信號(hào)描述方法。對(duì)每一個(gè)基本模式分量進(jìn)行希爾伯特變換之后，可以把數(shù)據(jù)表示成下面的形式： ? ? ? ? ? ?1 jn i t tjjX t a t e ??? ? （ 13） 從上式可以看出，每一個(gè)基本模式分量可以是幅度或頻率調(diào)制的。將等式 (10)與等式 (11)相加，最終得到 : ? ? 0n iniX t c r???? （ 12） 于是，到此已經(jīng)把原始數(shù)據(jù)分解成 n 個(gè)基本模式分量，及一個(gè)剩余分量 nr ，該剩余分量或者是一個(gè)平均趨勢或者是一個(gè)常數(shù)。該處理過程可對(duì)所有的接下來的剩余分量 jr 進(jìn)行處理，得到如下結(jié)果 : 1 2 22 3 31n m nr c rr c rr c r??????? （ 11） 33 這個(gè)處理過程在滿足以下任一條件后即可停止 : 當(dāng)分量 nc 或剩余分量 nr ，變成小到比預(yù)定值小時(shí) ； 或當(dāng)剩余分量 nr 變成單調(diào)函數(shù)，而從中不能再篩選出基本模式分量時(shí)。 總之， 1c 中應(yīng)包含原始信號(hào)中最短的周期分量從原始信號(hào)中分離出分量。為了保證基本模式分量保存足夠的反映物理實(shí)際的幅度與頻率調(diào)制，必須確定一個(gè)篩選過程停止的準(zhǔn)則。在第二次過濾處理中，分量 1h 被當(dāng)作待處理數(shù)據(jù)，于是： 1 11 11h m h?? (7) 可以把處理過程重復(fù) k 次，直到 h 是一個(gè)基本模式分量，于是： ? ? 1111 kkkh m h? ?? (8) 定義： 11khc? (9) 則 1c 就是從原始數(shù)據(jù)中處理得到的第一個(gè)基本模式分量。篩選過程主要有兩個(gè)作用：一是去除疊加波，二是使波形更加對(duì)稱。上下包絡(luò)線的均值定義為 1m ，而原始信號(hào)與 1m 的差值被定義為分量 1h ，則： ? ? 11X t m h?? （ 6） 理想情況下， 1h 應(yīng)是一個(gè)基本模式分量。因此，必須把信號(hào)分解為基本模式 分量。對(duì)任一信號(hào)，為了得到一個(gè)有意義的用希爾伯特變換定義的瞬時(shí)頻率， Huang(1996)提出了一類滿足下面兩個(gè)條件的稱為基本模式分量的函數(shù)： (1)在整個(gè)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)量與過零點(diǎn)的數(shù)量必須相等，或最多相差不能多于一個(gè) ； (2)在任何時(shí)間點(diǎn)上，被它的局部最大值與局部最小值定義的包絡(luò)的均值必須是零。通過這一定義， ??Xt 與 ??Yt形成一個(gè)復(fù)共軛對(duì)，從而得到一個(gè)解析信號(hào) ??Zt： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?itZ t X t iY t a t e ?? ? ? （ 2） 其中： ? ? ? ? ? ? 1222a t X t Y t?????? （ 3） ? ? ? ?? ?arctan Ytt Xt? ? （ 4） 由此，定義瞬時(shí)頻率 ? 為： 32 ??dtdt??? （ 5） 由于等式 (5)是時(shí)間的單值函數(shù)，所以在使用瞬時(shí)頻率這一概念時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)應(yīng)受到一定的 限制。 因此，必須定義瞬時(shí)頻率。接著，對(duì)分解得到的基本模式分量進(jìn)行希爾伯特變換，從而得出時(shí)頻平面上的能量分布譜圖 (希爾伯特譜 )。 基于經(jīng)驗(yàn)的模式分解及其希爾伯特變換譜 Huang于 1996 年提出了一種新的時(shí)頻分析方法。由于常用的 Mortet 小波是基于傅立葉分析的，因此它也具有傅立葉分析的一些缺點(diǎn)。小波分析的另一個(gè)問題是其不具有自適應(yīng)性的特點(diǎn)。有時(shí)，對(duì)通過小波分析得到的時(shí)頻分析的解釋也有違常規(guī)，如為了確定事件發(fā)生的具體位置，必須在高頻段來尋找〔頻率越高，其時(shí)間精度才越高〕。該方法對(duì)于分析頻率緩變的信號(hào)效果很好。 3 小波分析 實(shí)際上是一種可調(diào)窗的傅立葉譜分析，它巧妙地解決了短時(shí)傅立葉變換分辨率的不足。 2 WignerVille 分布 WignerVille 分布屬于二次時(shí)頻分析，是信號(hào)在時(shí)頻平面上的聯(lián)合功率譜。由于其依賴于傳統(tǒng)的傅 立葉譜分析，因此假定待分析數(shù)據(jù)是分段平穩(wěn)的。從倒譜圖上清楚地看出，有兩個(gè)主要頻率分量 :(85ms)及 ()。 在一個(gè)頻譜圖上出現(xiàn)過多的頻差，難以識(shí)別，而倒頻譜圖則有利于識(shí)別，如圖 所示。所以在測得的振動(dòng)分量中，不僅有明顯的軸轉(zhuǎn)數(shù)50HZ 及嚙合頻率 (5000HZ) 外，還有 4800HZ 及 5200HZ 的邊帶頻率。 假如上例中對(duì)于一個(gè)具 有四個(gè)輪幅的 100 個(gè)齒的齒輪，其軸準(zhǔn)轉(zhuǎn)數(shù)為 50轉(zhuǎn) /秒，而其嚙合頻率 5000Hz。根據(jù)三角半角關(guān)系， ()式可寫成： （ ） 從 ()式不難看出，它是由 w0， (w0 +wm)與 (w0wm )三個(gè)不同的正弦波之和，具有如圖 )之頻譜圖。 什么叫邊帶頻率，它又是如何產(chǎn)生的？ 設(shè)在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中有兩個(gè)頻率 w1 與 w2 存在，在這二頻率的激勵(lì)下，機(jī)械振動(dòng)的響應(yīng)呈現(xiàn)出周期性脈沖的拍，也就是呈現(xiàn)其振幅以差頻 ( (w2 w1)設(shè) w2w1 )進(jìn)行幅度調(diào)制的信號(hào)，從而形成拍的波形，這種調(diào)幅信號(hào)是自然產(chǎn)生的。 如一對(duì)工作中的齒輪，在實(shí)測得到的振動(dòng)或噪聲信號(hào)中，包含著一定數(shù)量的周期分量。兩部分在倒頻譜圖上占有不同的倒頻率范圍，根據(jù)需要可以將信號(hào)與系統(tǒng)的影響分開，可以刪除以保留源信號(hào)。 圖 ()即為相應(yīng)的倒頻譜圖。 若系統(tǒng)的輸入為 x(t)，輸出為 y(t)，脈沖響應(yīng)函數(shù)是 h(t)，兩者的時(shí)域關(guān)系為： y(t)=x(t)*h(t) 頻域?yàn)椋? Y(f)=X(f)*H(f)或 Sy(f)=Sx(f)*|H(f)|2 對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，則有： （ ） 式 ()關(guān)系如圖 ()所示，源信號(hào)為具有明顯周期特征的信號(hào)，經(jīng)過系統(tǒng)特性 logGk(f)的影響修正，合成而得輸出信號(hào) logGy(f)。在機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中，所測得的信號(hào)，往往是由故障源經(jīng)系統(tǒng)路徑的傳輸而得到的響應(yīng)，也就 是說它不是原故障點(diǎn)的信號(hào)，如欲得到該源信號(hào)，必須刪除傳遞通道的影響。還可以解卷積 (褶積 )成分，易于對(duì)原信號(hào)的分離和識(shí)別。若信號(hào) x(t)的傅里葉變換為 X(f): （ ） x(t)的倒頻譜記為： （ ） 顯而易見，它保留了相位的信息。 倒頻譜變量 q 的物理意義 為了使其定義更加明確，還可以定義： （ ） 即倒頻譜定義為信號(hào)的雙邊功率譜對(duì)數(shù)加權(quán)，再取其傅里葉逆變換 ，聯(lián)系一下信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)： 看出，這種定義方法與自相關(guān)函數(shù)很相近，變量 q 與τ在量綱上完全相同。 倒頻譜分析法 （ 1） .倒頻譜的數(shù)學(xué)描述 倒頻譜函數(shù) CF(q)(power cepstrum)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： （ ） CF(q)又叫功率倒頻譜，或叫對(duì)數(shù)功率譜的功率譜。 6．延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)＝ se?? 其頻率特性為 ??? jejG ??)( (519) 相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為 ???? ? M ???)( 1)( 圖 5— 7 延遲環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 當(dāng)頻率ω從 0→∞變化時(shí)，延遲環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖 57所示，它是一個(gè)半徑為1，以原點(diǎn)為圓心的一個(gè)圓。這是因?yàn)樵谶^阻尼系統(tǒng)中，特征根全部為負(fù)實(shí)數(shù)，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根小得多。此外，對(duì)于不同的ξ值的特性曲線都有一個(gè)最大幅值 rM 存在，這個(gè) rM 被稱為諧振峰值，對(duì)應(yīng)的頻率ω r稱為諧振頻率。頻率特性曲線與實(shí)軸相切。由式 (5— 18)及圖 56 可知，當(dāng)ω＝ 0 時(shí)， M(ω )＝ 1，φ (ω )＝ 00 ；在 0 ＜ ξ ＜ 1 的 欠 阻 尼 情 況 下 ， 當(dāng) ω ＝T1時(shí)，090)(,21)( ??? ????M ，頻率特性曲線與負(fù)虛軸相交，相交處的頻率為無阻尼自然振蕩頻率ω＝ T1 ＝ n? 。一階慣性環(huán)節(jié)可視為一個(gè)低通濾波器，因?yàn)轭l率ω越高，則 M(ω )越小，當(dāng)ω＞ T5 時(shí)，幅值 M(ω )已趨近于零。 當(dāng)ω從 0→∞時(shí)， M(ω )從 l→ 0；φ (ω )從 00→ 900，因此，一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性位于直角坐標(biāo)圖的第四象限，且為一半圓，如圖 5— 5 所示。系統(tǒng)中每增加一個(gè)微分環(huán)節(jié)將使相位超前 900。其幅值變化與ω成正比： M(ω )＝ω，當(dāng)ω＝ 0 時(shí)， M(ω )也為零，當(dāng)ω→∞時(shí)， M(ω )也→∞。 圖 5— 3 積分環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖 3．微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)＝ s 所以微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 20)( ????? je jjjG ???? (5— 15) 其極坐標(biāo)圖如圖 5— 4 所示。并且都與ω?zé)o關(guān)，它表示輸出為輸入的 K 倍，且相位相同。其中幅值 M(ω ) ＝ K。要用頻率特性的極坐標(biāo)圖示法分析控制系統(tǒng)的性能，首先要掌握典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖。因此，習(xí)慣上把圖 5— 1(b)的 G(jω )曲線也叫做 G(jω )的極坐標(biāo)圖。同樣，在直角坐標(biāo)圖 5— 1(b)上也可 20 以作出ω從 0 變化到∞的 G(jω )軌跡曲線。由這條曲線形成的圖像就是頻率特性的極坐標(biāo)圖，又稱為 G(jω )的幅相頻率特性。與矢量 OA 對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 )(11 1( ??? jGje)G (j )j G ?? 當(dāng)頻率ω從零連續(xù)變化至∞ (或從 ∞→ 0→∞ )時(shí)，矢量端點(diǎn) A 的位置也隨之連續(xù)變化并形成軌跡曲線。 （四） 頻率特性的極坐標(biāo)圖（ Nyquist 圖） 一、基本概念 由于頻率特性 G(jω )是復(fù)數(shù)，所以可以把它看成是復(fù)平面中的矢量。 19 對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性合稱為對(duì)數(shù)頻率特性，或稱作伯德圖（ Bode） （ 三 ） 、對(duì)數(shù)幅相頻率特性 (尼柯爾斯圖 ) 將對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性畫在一個(gè)圖上，即以 )(?? （度）為線性分度的橫軸，以 )(lg20)( ?? ML ? （ db）為線性分度的縱軸，以ω為參變量繪制的 )(?jG 曲線，稱為對(duì)數(shù)幅相頻率特性，或稱作尼柯爾斯圖（ Nichols）。 1．對(duì)數(shù)幅頻特性 為研究問題方便起見，常常將幅頻特性 )(?M 用增益 L(ω )來表示，其關(guān)系為： )(lg20)( ?? ML ? (5— 12) 在圖形中，縱軸按線性刻度，標(biāo)以增益值；橫軸按對(duì)數(shù)刻度，標(biāo)以頻率ω值，稱作對(duì)數(shù)幅頻特性。 （ 二 ） 、對(duì)數(shù)頻率特性 (伯德圖 ) 由上面的介紹可知，幅相頻率特性是一個(gè)以ω為參變量的圖形，在定量分析時(shí)有一定的不便之處。矢量的長度為 )j G ?( 的幅值 )( ?jG ；矢量與正實(shí)軸間夾角為 )j G ?( 的相角)G(j ?? 。 （ 一 ） 、幅相頻率特性 (奈氏圖 )