量子力學(xué)課件--薛定諤方程-資料下載頁(yè)
2025-05-10 22:26本頁(yè)面
【正文】 21221121C/*00?????????????cccccccc一維束縛態(tài)不簡(jiǎn)并定理 ? 定理：一維束縛態(tài)必是非簡(jiǎn)并態(tài)（ 可以由 Wronskian定理證明 ）。 En ()n x?不簡(jiǎn)并定理 的證明 證明（ 反證法 ）：利用 Wronskian定理與束縛態(tài)性質(zhì)，推導(dǎo)如下： 假設(shè)簡(jiǎn)并 ，則方程有兩個(gè)線性獨(dú)立的解，但是由 000x211221??????????????cc??????、無窮遠(yuǎn)處束縛態(tài)無關(guān)）（與常數(shù)無關(guān)。為積分常數(shù)，與積分xCxCx )()()(2122111221?????????????????????兩個(gè)函數(shù)不是線性獨(dú)立的（對(duì)應(yīng)同一個(gè)狀態(tài)），因此 不簡(jiǎn)并 。與題設(shè)矛盾，故定理得證。 *更嚴(yán)格的證明應(yīng)該考慮波函數(shù)有節(jié)點(diǎn)（為零的點(diǎn)）的情況，這時(shí)需要分段考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的區(qū)域，再利用波函數(shù)連續(xù)性條件證明以上常數(shù) C對(duì)每一段是同一個(gè)常數(shù)（可參考曾謹(jǐn)言量子力學(xué)卷 1，83頁(yè)） 對(duì)定理的補(bǔ)充說明 （ 1） 此定理僅對(duì)一維情況成立 ；二維、三維束縛態(tài)的能量仍然可能簡(jiǎn)并（如氫原子、二維、三維諧振子等）； （ 2）非束縛態(tài)的能量一般是簡(jiǎn)并的。 非束縛態(tài)的例子 EpEp??2221???? ，例如：一維自由粒子 能量 是 2度簡(jiǎn)并的： 即 同一個(gè)能量 E，有兩個(gè)線性獨(dú)立的波函數(shù)，可以取為： ??/2/121eexipxip????1 1 2 2 1 2EEc c c c? ? ???能 量 為 的 狀 態(tài) 都 可 以 寫 成 ：（ 、 為 任 意 常 數(shù) ）兩個(gè)推論 ? 推論 1：一維束縛態(tài)波函數(shù)的相位必是常數(shù)。 即 因此波函數(shù)可以取為實(shí)函數(shù) ( ) | ( ) | ix x ex?????與 無 關(guān)宇稱 ? 宇稱是態(tài)的重要的量子力學(xué)性質(zhì)，它具有“ 純量子力學(xué) ” 的特征，在經(jīng)典力學(xué)中沒有對(duì)應(yīng)物。 ( ) ( ) ( ),x x x? ? ?? ? ???若 滿 足 則 稱“ ” — — 偶 宇 稱 （ 或 正 宇 稱 ）“ ” — — 奇 宇 稱 （ 或 負(fù) 宇 稱 ）? 推論 2(宇稱定理 )：如果 則一維束縛態(tài)波函數(shù)必有確定的宇稱。 )()( xUxU ??束縛態(tài)能量離散性 ? 定理：束縛態(tài) (不只是一維 ) 的能級(jí)是不連續(xù)的 （僅當(dāng)能量取某些離散的數(shù)值時(shí)，方程才有符合單值、有限、連續(xù)條件的解）。這就是通常意義的 “ 量子化 ” 。 ? 以后將用例子說明可以由波動(dòng)理論自然地導(dǎo)出能量的不連續(xù)性。 E 作業(yè) ? 作業(yè) (補(bǔ)充題 )：證明本節(jié)中的 推論 1和推論 2。 量子力學(xué)中的離散與連續(xù) ? 能量有時(shí)是量子化（離散化）的（詳見后面的束縛態(tài)求解過程），有時(shí)則是連續(xù)的（如自由粒子平面波解對(duì)應(yīng)的狀態(tài)） ? 空間坐標(biāo)和動(dòng)量總是連續(xù)譜。 ? 一些力學(xué)量（如角動(dòng)量和自旋）總是量子化（離散化）的。 ? 時(shí)間被當(dāng)作連續(xù)的參量。 下次課內(nèi)容 ? 一維無限深勢(shì)阱、有限深勢(shì)阱 ? 線性諧振子
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