直線、平面垂直的判定與性質(zhì)更多關(guān)注高中學(xué)習(xí)資料庫加微信gzxxzlk做每日一練-資料下載頁
2025-05-10 21:36本頁面
【正文】 證明： ∵ 平面 SAD⊥ 平面 ABCD，平面 SAD∩平面 ABCD ＝ AD， SM?平面 SAD， SM⊥ AD， ∴ SM⊥ 平面 ABCD. ∵ BM?平面 ABCD, ∴ SM⊥ BM. ∵ 四邊形 ABCD 是直角梯形， AB//CD， AM＝ AB， DM＝ DC， ∴ △ MAB， △ MDC 都是等腰直角三角形， ∴∠ AMB＝ ∠ CMD＝ 45176。 ， ∴∠ BMC＝ 90176。 .∴ BM⊥ CM. ∵ SM?平面 SMC， CM?平面 SMC， SM∩CM＝ M， ∴ BM⊥ 平面 SMC. (2)解： 三棱錐 C－ SBM 與三棱錐 S－ CBM 的體積相等， 由 ( 1 ) 知 SM⊥ 平面 ABCD， 得V1V＝13SM 12BM CM13SM 12? AB ＋ CD ? AD. 設(shè) AB ＝ a ，由 CD ＝ 3 AB ， AM ＝ AB ， DM ＝ DC ， 得 CD ＝ 3 a ， BM ＝ 2 a ， CM ＝ 3 2 a ， AD ＝ 4 a . 從而V1V＝2 a 3 2 a? a ＋ 3 a ? 4 a＝38. 1．證明線面垂直的方法 (1)用線面垂直的定義：若一直線垂直于平面內(nèi)任一直線，這 條直線垂直于該平面． (2)用線面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交 直線，這條直線垂直于該平面． (3)用線面垂直的性質(zhì)定理：若兩平行直線之一垂直于平面， 則另一條直線也垂直于該平面． (4)用面面垂直的性質(zhì)定理：若兩個平面垂直，在一個平面內(nèi) 垂直于交線的直線必垂直于另一個平面． (5)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么也垂直 于另一個平面． (6)如果兩個相交平面都和第三個平面垂直，那么相交平面的 交線也垂直于第三個平面． 2．判定面面垂直的方法 (1)定義法：首先找二面角的平面角，然后證明其為直角． (2)用面面垂直的判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 垂線． 3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，是判定兩條直線平行 的又一重要方法，是實現(xiàn)空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系在一定條件 下相互轉(zhuǎn)化的一種手段． 4．本節(jié)教材中線面垂直的性質(zhì)定理的證明用到反證法，反證 法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否 定等于肯定”，其中第一個否定是指否定結(jié)論，第二個否定是指 “邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”． 5．常用定理： (1)過一點有且只有 一條直線與已知平面垂直． (2)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直； (3)如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂 直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi)． 1．面面垂直的性質(zhì)定理是證明線面垂直的依據(jù)和方法，在解 決二面角的問題中，作其平面角經(jīng)常用到，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是創(chuàng) 設(shè)定理成立的條件：一是線在面內(nèi)，二是線垂直于交線．兩個條 件同時具備才能推出線面垂直． 2．線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化是解決有關(guān)垂 直證明題的指導(dǎo)思想，既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目 的條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向，不能過于模式化．復(fù)雜的題目不 是一次或兩次就能完成，而是不斷從某一垂直向另一垂直轉(zhuǎn)化， 最終達(dá)到目的．
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