【正文】 21 5 4 8 6 16 64 36 48 32 24 6 6 10 5 36 100 25 50 60 30 7 10 19 3 100 361 9 57 190 30 8 11 16 2 121 256 4 32 176 22 9 10 18 1 100 324 1 18 180 10 10 5 9 7 25 81 49 63 45 35 合計 79 133 39 675 1935 183 465 1127 274 Σ ( 11 xx? )( 22 xx? )=Σ x1x2 n1Σ x1Σ x2=456101?133?39= Σ ( yy? )2=Σ y2 n1(Σ y)2=675101?792= Σ ( 11 xx? )( yy? )=Σ x1y n1Σ x1Σ y=1127101?133?79= Σ ( 22 xx? )( yy? )=Σ x2y n1 Σ x2Σ y=274101?39?79= 于是可得 21 )( )()( ??? ??????b= 涂大俠收集整理，版權(quán)歸原作者所有！ 精品文檔，下載僅需 元！ 22 )( )()( ??? ??????b= a = 2211 xbxby ?? =1079 ? 1013 （ ） ?1039 = 從而可得經(jīng)驗方程 Y? =a +b1x1+b2x2=+ 回歸方程表明：在價格不變情況下，消費者收入增加 1 百元時，對該商品的需求平均上升 件；在消費者收入不變情況下，價格每上漲 1 元時，對該商 品的需求平均下降 件。 從數(shù)學(xué)角度看，回歸方程 Y? =+ 是一個以 Y? 為縱坐標(biāo)軸、 x1 和 x2為橫坐標(biāo)軸的回歸平面。 此外，回歸方程 Y=A+B1X1+B2X2+? +BkXk+e 中的隨機誤差項 e 的方差σ 2也是未知的，其無偏估計量為 1)?(1? 22 ?? ?????? kn Yykn Q? 上式中， nk1 為自由度。從這里可以看出，樣本容量 n 必須大于或等于 k+2，即 n≥K+2，否則就無法估計σ 2。事實上，實踐中進行回歸分析時，樣本觀察值數(shù)目要比 k+2 大得多。 二、多元線性相關(guān)分析 對多元線性回歸方程而言，總離差平方和 T 同樣可以分解為回歸離差平方和 R 及殘差平方和 Q 兩部分，即 T=R+Q 由此，可以定義出樣本的復(fù)判定系數(shù)，即 r2=TR （式 ） r2反映了經(jīng)驗方程對總體線性相關(guān)關(guān)系的擬合優(yōu)度的大小，其值愈大，說明回歸方程的擬合優(yōu)度愈高，反之，擬合優(yōu)度愈低。 顯然， 0≤ r2≤ 1， r 稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，它測定了因變量 y 與 k 個自變量 x x?、 xk之間線性相關(guān)程度的大小。 r 稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，它為 r=TR （式 ） 對于例 ，由于 T=?(y y )2= 22 )(1 yny ???=675101 (79)2= 2)?( YyQ ??? = yxbyxbyay 22112 ??????? =??1127()?274 涂大俠收集整理，版權(quán)歸原作者所有！ 精品文檔，下載僅需 元！ = R=TQ == 因此可得 r2=TR== r= = 復(fù)相關(guān)系數(shù) r 總是取正值，因為在多個自變量情況下，偏回歸 系數(shù)有兩個以上，無法說明 y 與 k 個 x 變量線性關(guān)系的方向。 與簡單線性回歸及相關(guān)分析不同，一般說來，進行多元線性回歸分析時，隨著自變量個數(shù)的增加，總離差平方和 T 雖不發(fā)生變化，但回歸離差平方和 R 卻隨之增大，殘差平方和 Q隨之縮小。 對于例 ，若只進行需求量 (y)和收入 (x1)之間的回歸分析，設(shè)回歸方程為 Y? =a +b1x1 此時， a 和 b1的 取值分別為 22121 111 133193510 79133112710)( ?? ??????? ????? xxn yxyxnb= ??????? nxbnya= 回歸方程為 Y? = + 此時 T=?(y y )2= 22 )(1 yny ???=675101 (79)2= R=?(Y? y )2= b12[ 2121 )(1 xnx ???] =()2 [1935101 (133)2]= Q =TR== 由此可以看出，價格因素 (x2)未加入前， R=，它小于價格因素 (x2)加入后的R=，兩者相差 =，它表示在原方程 Y? =a +b1x1的基礎(chǔ)上，將價格因素 (x2)納入后而凈增加的回歸離差平方和，稱之為價格 (x2)效應(yīng)，并用12/xxR表示。 當(dāng) k=2 時，如果將未加入 x2之前的 R、 Q 分別記作1xR和1xQ，納入 x2之后的 R、 Q 分別記作21,xxR和21,xxQ，于是有下列關(guān)系 涂大俠收集整理，版權(quán)歸原作者所有！ 精品文檔，下載僅需 元！ 21,xxR=1xR+12/xxR 12/xxR=1xQ21,xxQ 對于例 ，有 21,xxR=1xR+12/xxR=+= 12/xxR=1xQ21,xxQ== 由上面的討論知道，復(fù)判定系數(shù) r2及復(fù)相關(guān)系數(shù) r 同自變量的個數(shù) k 有關(guān)， k 愈大， r2值也愈大。有時，某個變量同因變量之間沒有什么明顯的關(guān)系，但將其納入方程后，也能增加 r2的值，這樣就造成 r2或 r 高估了變量間的相關(guān)程度。因此，應(yīng)當(dāng)對 r2的值加以修正，其一 般修正式是 2~r =1(1r2) 11???? knn （式 ） 式中， n 為樣本容量， k 為自變量的個數(shù)， r2為原來的復(fù)判定系數(shù)， 2~r 為修正后的復(fù)判定系數(shù)。 當(dāng) n 較大而 k 較小時， 2~r 和 r2之間的差別較小，修正作用微弱；反之，當(dāng) n 較小而 k較大時， 2~r 就遠遠小于 r2，此時修正作用明顯。 對于例 ，修正后的 2~r 為 2~r =1() 1210 110 ???? = 在多元線性相關(guān)分析中，既可以用復(fù)相關(guān)系數(shù)來度量 y與 k 個變量 x x?、 xk之間的相關(guān)程度，也可以用簡單相關(guān)系數(shù)來度量 y 與其中的某一變量 xi(i=1,2,?， k)之間的相關(guān)程度，以此來比較自變量對因變量的影響中哪一個更顯著。但由于在多變量的回歸與相關(guān)分析中，許多問題都復(fù)雜起來，比如，任意兩個自變量都有可能存在相關(guān)關(guān)系，此時，簡單相關(guān) 關(guān)系中就或多或少地摻雜著其它變量的影響，從而使簡單相關(guān)系數(shù)在反映兩個變量之間的相關(guān)程度上具有一定的虛假性，只能是粗略的度量。事實上，在多元線性回歸及相關(guān)分析時，常需假定自變量之間不存在完全的線性相關(guān)。 為了準確地反映兩個變量之間的相關(guān)程度，需要在消除其它變量的影響之后，再計算它們的相關(guān)系數(shù)，稱之為偏相關(guān)（或凈相關(guān)）系數(shù)。 比如，對于二元回歸與相關(guān)分析而言， y 和 x2之間的偏相關(guān)系數(shù)可定義為 112 /1/2xxxy QRr ? （式 ） 1/2yr 反映 了由于自變量 x2納入方程后使原方程殘差平方和 1xQ 減少的程度，因此， 1/2yr越大，說明 y 與 x2的偏相關(guān)程度越高，反之，則越低。同理，也可定義出 2/1yr 和 yr/12 ，前涂大俠收集整理，版權(quán)歸原作者所有！ 精品文檔，下載僅需 元！ 者反映了剔除變量 x2影響后， y與 x1之間的偏相關(guān)程度，后者則反映了剔除變量 y 的影響后，x1與 x2之間的偏相關(guān)程度。 此外，偏相關(guān)系數(shù)還可以通過簡單相關(guān)系數(shù)表示出來，即 2122212212/111 rrrrrryyyy???? （式 ） 2122112121/211 rrrrrryyyy???? （式 ） 22212112/1211 yyyyyrrrrrr???? （式 ） 式中， 1yr 、 2yr 和 12r 分別表示 y 與 x y 與 x2及 x1與 x2之間的簡單相關(guān)系數(shù)。 利用例 資料，可得各種簡單相關(guān)系數(shù)如下 763)()( 222121111 ???????? ????? yynxxn yxyxnr y 341)()( 222222222 ?????????? ????? yynxxn yxyxnr y 537)()( 22222121212112 ????????? ????? xxnxxn xxxxnr 這樣，可進一步得它們的偏相關(guān)系數(shù)為 2122212212/111 rrrrrryyyy???? =22 )(1)(1)()( ???? ???? = 2122112121/211 rrrrrryyyy???? =22 )()( ??? ???? = 22212112/1211 yyyyyrrrrrr???? =22 )()( ??? ???? 涂大俠收集整理，版權(quán)歸原作者所有！ 精品文檔，下載僅需 元！ = 由此可見，偏相關(guān)系數(shù)的計算結(jié)果小于簡單相關(guān)系數(shù)，反映問題比較準確。通過偏相關(guān)系數(shù)的大小就可以判斷哪些自變量對因變量的影響大，選取其中影響顯著者作為方程中的變量，對于那些影響較小的變量則可以舍去，從而可以簡化方程及運算。 同簡單回歸與相關(guān)分析一樣，利用樣本數(shù)據(jù)求得的回歸方程、回歸系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)等是否能夠較好的反映總體的情況，這都需要進行統(tǒng)計檢驗和估計，這之后我們才能利用這些結(jié)論去分析判斷和預(yù)測。 此外，本章討論時基本上局限在線性回歸和相關(guān)上， 至于非線性回歸和相關(guān)以及其它一些較深入的問題，限于篇幅也就不