【導(dǎo)讀】預(yù)處理實(shí)現(xiàn)消除圖像中的斑點(diǎn)（散斑）噪聲及保留邊緣特征的濾波技術(shù)的重要意義。各向異性擴(kuò)散方法；基于多分辨率分析的斑點(diǎn)噪聲消除算法。詳細(xì)介紹了以上三類。算法依次進(jìn)行MATLAB實(shí)現(xiàn)。型與雙邊濾波模型更有利于FCM圖像分割技術(shù)分割出精確的腫瘤區(qū)域。

　　

【正文】 這里 hij是系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)，“ *”為卷積算子。盡管該算法適用于任何系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)，但在通常的應(yīng)用中，一般假定 hij為 delta 函數(shù)（例如假定 hij的功率譜密度在感興趣的波段寬度上是不變的）。最小均方濾波器形式如下： )()()( * tmtztx ?? 這里 t對(duì)應(yīng)于空間域中像素之間的距離。選擇脈沖函數(shù) m(t)，使下式最?。? ]))()([( 2txtxEJ ?? ? 按 照 頻 率 域 中 Wiener 濾 波 器 的 推 導(dǎo) ， 可 以 容 易 地 找 到 上 式 的 解 ：||)( tetm ?? ?? 11 axxxa v ??? )])/ ( v a r ()) [ v a r (/2( 222 ?? 衰減常數(shù)α的大小取決于 x ， )var(x ，和 a 。在應(yīng)用中， a 取作一個(gè)常數(shù)，盡管它應(yīng)當(dāng)是與具體圖像有關(guān)的。其他兩個(gè)量則通過(guò)局域統(tǒng)計(jì)窗口內(nèi)像素的局域均值和方差來(lái)估計(jì)。 算法分析 在濾波窗口內(nèi)，盡管其他像元可以具有不同的局部統(tǒng)計(jì)特性，但因其關(guān)于中心像元(i， j)的空間距離相同，因 而它們關(guān)于中心像元的濾波運(yùn)算具有一致的權(quán)值。當(dāng)濾波窗口對(duì)應(yīng)非均質(zhì)區(qū)域時(shí)，這種基于等權(quán)運(yùn)算的平滑作用必然會(huì)破壞圖像原有的結(jié)構(gòu)信息。 kuwahara 濾波 簡(jiǎn)述 Kuwahara 濾波器是一種基于局域統(tǒng)計(jì)特性的，非線性的邊緣保持的平滑濾波器。 算法說(shuō)明 Kuwahara 濾波算法是對(duì)于每一個(gè)中心像素點(diǎn)制作一個(gè) K=4*L+1 （ L取整數(shù)）大小的掩膜，將掩膜劃分成等面積的相互重疊的四塊區(qū)域，如下圖： 12 圖 此圖例中 L=1， J=K=5，每一個(gè)區(qū)域?yàn)?[( J +1)/2] x [(K+1)/2]。分別計(jì)算每一個(gè)區(qū)域中的均值和方差，每一個(gè)中心像素的灰度值等于方差最小的那個(gè)區(qū)域的均值。 即： )( re gi onm e a nij ?? ， var（ region） =smallest 算法分析 由圖可知，當(dāng)選取的區(qū)域窗口在圖像的邊緣時(shí)，中心像素點(diǎn)的灰度值會(huì)選取方差較小子區(qū)域的均值，而不會(huì)選擇包含邊緣的子區(qū)域的均值，這樣就使得圖像邊緣得到較小的平滑，而非邊緣區(qū)域得到較大的平滑，從而即保留了邊緣細(xì)節(jié)又實(shí)現(xiàn)了去噪。圖像 的平滑程度，和邊緣的輪廓細(xì)節(jié)保留程度取決于選擇的區(qū)域窗口的大小。 雙邊濾波 簡(jiǎn)述 雙邊濾波器的基本原理是基于高斯濾波方法提出的 , 主要是針對(duì)高斯濾波中將高斯權(quán)系數(shù)直接于圖像信息作卷積運(yùn)算進(jìn)行圖像濾波 , 將濾波器的權(quán)系數(shù)分解設(shè)計(jì)為空域?yàn)V波器的權(quán)系數(shù)和圖像亮度差的權(quán)系數(shù) , 將新的權(quán)系數(shù)再與圖像信息作卷積運(yùn)算。 13 高斯濾波是一種最常用的濾波方法 , 如式 : 221( ) e x p ( )22tGt???? 其中 , 為高斯濾波函數(shù)的尺度 , 的取值越大 , 平滑效果越明顯 , 去噪效果也就越好 , 但與此同時(shí) , 高頻邊緣細(xì)節(jié)損失也就越嚴(yán)重。因此 , 在濾波過(guò)程中 , 邊緣保持和消除噪聲是一個(gè)極大的矛盾。為了克服這種矛盾 , si 和 提出了一種既能有效去除噪聲 , 又能最大限度的保持邊緣信息的 Bilateral 濾波方法來(lái)取代傳統(tǒng)的 Gaussian 濾波方法。 算法說(shuō)明 雙邊濾波器可以表示為 [ ] [ , ] [ ] [ , ]nnf k W k n g n W k n? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 其中 , g 為退化后的圖像 , f 為去噪聲恢復(fù)后的圖像 ,為第 k個(gè)樣本像素的鄰域范圍 , n。雙向?yàn)V波器既要考慮到退化圖像 g的像素樣本 k 與其鄰域像素距離 , 也要考慮空間距離 , 則權(quán)值 W[ k, n]可以表示為： [ , ] [ , ] [ , ]drW k n W k n W k n?? 其中空間權(quán)系數(shù)和灰度權(quán)系數(shù)分別定義如下： 2[ , ] e x p ( )2d dnW k n??? 2( [ ] [ ] )e x p ( )2r rg k g k nW????? 算法分析 由上式可知 , 雙邊濾波器的權(quán)系數(shù)是由幾何分布因子 ? d和灰度分布因子 ? r 共同 14 決定的。 ? d 的大小決定窗口中高斯函數(shù)包含的像素個(gè)數(shù) , ? d 變大時(shí) ,作用的像素變多 , 導(dǎo)致圖像變得越模糊 。 而 ? r 則可以對(duì) ? d的變化做出補(bǔ)償。例如 , 當(dāng) ? d變大時(shí) , 結(jié) 合的像素會(huì)變多 , 圖像本應(yīng)變模糊 , 但由于 ? r 的限制 , 那些亮度差值大于 ? r 的像素間將不進(jìn)行亮度間的結(jié)合運(yùn)算 , 所以極大程度上保證了圖像中處于高頻邊緣處的亮度信息得以保留 , 而且不會(huì)和其相鄰的非邊緣亮度作運(yùn)算 , 還去除了高頻的噪聲。這種算法的優(yōu)點(diǎn)是不需要進(jìn)行繁雜的迭代運(yùn)算 , 尤其是當(dāng)窗口較大時(shí) , 可以在保證圖像濾波器效果很好的同時(shí) , 極大降低 濾波過(guò)程的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算量 [18]。 Isotropic Total Variation（ TV）全變分濾波 簡(jiǎn)述 1992 年 Rudin 等人提出的全變分 ( total variation ) 模型是目前應(yīng)用最為成功的圖像去噪模型之一。 TV 去噪模型的成功之處在于利用了自然圖像內(nèi)在的正則性，對(duì)于保持圖像的細(xì)節(jié)和消除斑點(diǎn)噪聲有較好的效果。 算法說(shuō)明 當(dāng)觀測(cè)的含噪聲的圖像強(qiáng)度為 f，期望得到的理想的圖像強(qiáng)度為。，則圖像擴(kuò) 散經(jīng)典的 Tikhonov 模型 [36]的能量泛函為： 221( ) ( )22E u u f dx dy u dx dy???? ? ? ??? 其中， (l)右邊的第 1項(xiàng)為數(shù)據(jù)項(xiàng)，第 2項(xiàng)為規(guī)則項(xiàng)， ? 為圖像區(qū)域， ? 為懲罰參數(shù)。采用變分方法可得到上述能量泛函取極值的 Euler 一 Lagrange 方程及邊界條件 0u f uun?? ? ?? ?? 對(duì)其 Euler 一 Lagrange 方程采用半隱式差分格式可得到如下簡(jiǎn)單的 Gauss 一seidel 迭代格式 : 15 1 1 1 11 , 1 , , 1 , 11,224( 1 ) n n n ni j i j i j i jni j i ju u u uufhh? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 當(dāng)（ 1）的規(guī)則項(xiàng)改寫(xiě)為 時(shí)，其能量泛函為 21( ) ( )2E u u f dx dy u dx dy???? ? ??? 由變分方法容易得到其 Euler 一 Lagrange 方程為 uufu??? 其解析解可由如下收縮算子 [37]計(jì)算如下 : ( , )u Shri nk f ?? = 0ff???? fff??????? 對(duì)于經(jīng)典的 TV 模型，其能量泛函為 221( ) ( )22E u u f dx dy u dx dy???? ? ? ??? 由變分方法得到其對(duì)應(yīng)的 Euler 一 Lagrange 方程及邊界條件為 ()0uufuun? ?? ? ??? ?? (8)的 Euler 一 Lagrange 方程對(duì)應(yīng)的半隱式差分迭代格式為 11,nni j i j nijuufu ????????????? ? ? ??? 其中， 是為避免奇點(diǎn)而引進(jìn)小的常數(shù)后的規(guī)則項(xiàng)。 16 算法分析 從（ 8）式中可以看出，擴(kuò)散系數(shù)是u?1 在圖像的邊緣區(qū)域， u? 較大，擴(kuò)散系數(shù)較小，因此沿邊緣方向的擴(kuò)散較弱，從而保留了邊緣特征；相反，在圖像的平滑區(qū)域，u? 較小，擴(kuò)散系數(shù)較大，因此在圖像的平滑區(qū)域擴(kuò)散能力強(qiáng)，起到 了消除噪聲的目的。 各項(xiàng)同性 PM 模型濾波 簡(jiǎn)述 由 Perona和 Malik于 1990年提出的經(jīng)典的擴(kuò)散濾波器在圖像去噪與增強(qiáng)領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用 , 是偏微分方程圖像處理方法研究的一個(gè)重要內(nèi)容 , 也是一個(gè)基本的研究對(duì)象 . 在 Perona 和 Malik 的框架下 , 許多研究者都提出了不同的改進(jìn)或變形 , 我們把它們統(tǒng)稱為 PM 擴(kuò)散濾波器。 算法說(shuō)明 PM 模型 0()( , , ) ( , )tu d iv g u uu x y o u x y? ? ? ?? 其中 : u 為噪聲圖像 。 ? 表示梯度 。 div 表示散度 。 擴(kuò)散函數(shù)取為 1g =1/(1+( 2)/( Kx ) 或 2g =exp(— 2)/( Kx ) ， K 為梯度閾值，是和噪聲方差有關(guān)的常數(shù)。 算法分析 圖中分別展示了 1g =1/(1+( 2( / )uK? )， 2g =exp(— 2( / )uK? ) 17 圖 圖中： 擴(kuò)散系數(shù) g 是一個(gè)像素的灰度梯度值的單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)像素梯度值足夠大，g近似為 0，所以起到保留邊界的目，而在邊界內(nèi)的區(qū)域中平滑。 anisotropic weickert 模型濾波 簡(jiǎn)述 ［ 67］的各向異性擴(kuò)散方程先用線性方程對(duì)邊緣進(jìn)行定向，再用非線性方程實(shí)現(xiàn)沿邊緣的定向擴(kuò)散，實(shí)現(xiàn)了線性方程與非線性方程的結(jié)合。 等［ 67］進(jìn)一步研究了非線性各向異性擴(kuò)散方程 (簡(jiǎn)稱 模型 ) ，把標(biāo)量函數(shù)形式的 擴(kuò)散系數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)矩陣形式的擴(kuò)散張量，使得擴(kuò)散過(guò)程不僅依賴圖像梯度大小，也依賴于圖像梯度方向［ 11］。 算法說(shuō)明 各向異性擴(kuò)散采用下述模型： 0()( , , ) ( , )tu d iv D uu x y o u x y? ? ?? 其中 D為 2*2 的擴(kuò)散矩陣。 而在文獻(xiàn) [6] 中， D有兩種構(gòu)造方式： 18 邊緣增強(qiáng)性擴(kuò)散 通過(guò)構(gòu)造其特征向量與特征根獲得在邊緣增強(qiáng)擴(kuò)散中 D 的特征向量與T???? ???? ??????? 相同，其中 ?? ??? ???? ),( t ， ?? 為高斯光滑核。顯然這兩個(gè)特征根分別對(duì)應(yīng)圖像的垂直邊緣方向和沿邊緣方向。 邊緣增強(qiáng)擴(kuò)散中， D的特征根為： ))/(e x p (11 mmu C ?? ???? 12?? 其中 1? 對(duì)應(yīng)沿邊緣方向的特征向量 2? 對(duì)應(yīng)垂直邊緣方向的特征向量。 相干增強(qiáng)擴(kuò)散 與邊緣增強(qiáng)擴(kuò)散不同，在相干增強(qiáng)擴(kuò)散中 D的特征向量與下述結(jié)構(gòu)算子 ?J 相同 ( ) ( )J u k u u? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 這顯然也對(duì)應(yīng)了圖像抑噪后的垂直邊緣方向和沿邊緣方向而 D的特征值取為 : 1 a?? 2 212( 1 ) e x p ( )()Caa? ??? ? ? ? ? 1? , 2? 為 ?? ?? ??? 的特征值， C為大于零的常數(shù)， ? ?1,0?a ，常取一個(gè)很小的值，1? 對(duì)應(yīng)平行于梯度方向的特征向量， 2? 對(duì)應(yīng)垂直于梯度方向的特征向量 算法分析 模型在邊緣處盡可能沿邊緣方向擴(kuò) 散，因而能較好地解決去噪與邊緣保護(hù)的矛盾。特征值 1? 的選取