【導(dǎo)讀】3、函數(shù)的簡單性態(tài)··················································································4

　　

【正文】 判斷極值點存在的方法有兩種：如下 方法一： 設(shè)函數(shù) 在 x0點的鄰域可導(dǎo)，且 . 情況一： 若當(dāng) x 取 x0左側(cè)鄰近值時， ＞ 0，當(dāng) x取 x0右側(cè)鄰近值時， ＜ 0， 則函數(shù) 在 x0點取 極大值 。 情況一： 若當(dāng) x 取 x0左側(cè)鄰近值時， ＜ 0，當(dāng) x取 x0右側(cè)鄰近值時， ＞ 0， 則函 數(shù) 在 x0點取 極小值 。 注： 此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在 x0點不存在的情況。 用方法一求極值的一般步驟是： a)：求 ； b)：求 的全部的解 —— 駐點； c)：判斷 在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 例題： 求 極值點 解答： 先求導(dǎo)數(shù) 再求出駐點：當(dāng) 時， x= 4/5 判定函數(shù)的極值，如下圖所示 方法二： 設(shè)函數(shù) 在 x0點具有二階導(dǎo)數(shù)，且 時 . 則： a)：當(dāng) ＜ 0，函數(shù) 在 x0點取極大值； b)：當(dāng) ＞ 0，函數(shù) 在 x0點取極小值； c)：當(dāng) =0，其情形不一定，可由方法一來判定 . 例題： 我們?nèi)砸岳?1為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。 解答： 上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。 ，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定； ＜ 0， 故此點為極大值點； ＞ 0，故此點為極小值點。 函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使 產(chǎn)品最多 、 用料最省 、 成本最低 等。 這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為 求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知 道了，函數(shù)的極值是局部的。要求 在 [a,b] 上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間 (a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點 的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 例題： 求函數(shù) ，在區(qū)間 [3， 3/2]的最大值、最小值。 解答： 在此區(qū)間處處可導(dǎo)， 先來求函數(shù)的極值 ，故 x=177。1 ， 再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 因為 ， ， ， 故函數(shù)的最大值為 ，函數(shù)的最小值為 。 例題： 圓柱形罐頭，高度 H 與半徑 R 應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最省？ 解答： 由題意可知： 為一常數(shù)， 面積 故在 V 不變的條件下，改變 R 使 S 取最小值。 故： 時，用料最省。 曲線的凹向與拐點 通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解 曲線的凹性 。 定義： 對區(qū)間 I 的曲線 作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間 I 下凹 ，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間 I 上凹 。 曲線凹向的判定定理 定理一： 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹 (或向下凹 )的充分必要條件是： 導(dǎo)數(shù) 在區(qū)間 (a,b)上是單調(diào)增 (或單調(diào)減 )。 定理二： 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末： 若在 (a,b)內(nèi)， ＞ 0，則 在 [a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的； 若在 (a,b)內(nèi)， ＜ 0，則 在 [a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的； 例題： 判斷函數(shù) 的凹向 解答： 我們根據(jù)定理二來判定。 因為 ，所以在函數(shù) 的定義域 (0,+∞) 內(nèi)， ＜ 0， 故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。 拐點的定義 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此 曲線上的拐點 。 拐定的判定方法 如果 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定 的拐點。 (1)：求 ； (2)：令 =0，解出此方程在區(qū)間 (a,b)內(nèi)實根； (3)：對于 (2)中解出 的每一個實根 x0，檢查 在 x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。 例題： 求曲線 的拐點。 解答： 由 ， 令 =0，得 x=0， 2/3 判斷 在 0， 2/3 左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。 四、不定積分 不定積分的概念 原函數(shù)的概念 已知函數(shù) f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù) F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有 dF39。(x)=f(x)dx， 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù) F(x)為函數(shù) f(x)的 原函數(shù) 。 例： sinx是 cosx的原函數(shù)。 關(guān)于原函數(shù)的問題 函數(shù) f(x)滿足什么條件是，才保證其原函 數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？ 我們可以明顯的看出來：若函數(shù) F(x)為函數(shù) f(x)的原函數(shù)， 即： F(x)=f(x)， 則函數(shù)族 F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是 f(x)的原函數(shù)， 故：若函數(shù) f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個 . 不定積分的概念 函數(shù) f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù) f(x)的 不定積分 ， 記作 。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù) F(x)為函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)，那末 f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即 : =F(x)+C 例題： 求： . 解答： 由于 ，故 = 不定積分的性質(zhì) 函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和； 即： 求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來， 即： 求不定積分的方法 換元法 換元法（一）： 設(shè) f(u)具有原函數(shù) F(u)， u=g(x)可導(dǎo)，那末 F[g(x)]是 f[g(x)]g39。(x)的原函數(shù) . 即有換元公式 : 例題： 求 解答： 這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。 設(shè) u=2x，那末 cos2x=cosu， du=2dx，因此： 換元法（二）： 設(shè) x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且 g39。(t)≠0 ，又設(shè) f[g(t)]g39。(t)具有原函數(shù) φ(t) ， 則 φ[g(x)] 是 f(x)的原函數(shù) .(其中 g(x)是 x=g(t)的反函數(shù)） 即有換元公式 : 例題： 求 解答： 這個積分的 困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元 . 設(shè) x=asint(π/2tπ/2) ，那末 ， dx=acostdt,于是有： 關(guān)于換元法的問題 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。 分部積分法 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。 設(shè)函數(shù) u=u(x)及 v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) .我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為： (uv)39。=u39。v+uv39。，移項，得 uv39。=(uv)39。u39。v，對 其兩邊求不定積分得： ， 這就是 分部積分公式 例題： 求 解答： 這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積 分法。 設(shè) u=x， dv=cosxdx，那末 du=dx， v=sinx，代入分部積分公式得： 關(guān)于分部積分法的問題 在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取 u 和 dv，否則就會南轅北轍。選取 u 和 dv 一般要考慮兩點： (1)v 要容易求得； (2) 容易積出。 幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù) 是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式 ， 反之為 真分式 。 在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。 例題： 求 解答： 關(guān)于有理函數(shù)積分的問題 有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。 三角函數(shù)的有理式的積分舉例 三角函數(shù)的有理式是指由三角 函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。 例題： 求 解答： 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題 任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換 u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我 們不再舉例。 簡單無理函數(shù)的積分舉例 例題： 求 解答： 設(shè) ，于是 x=u2+1， dx=2udu，從而所求積 分為： 五、定積分及其應(yīng)用 定積分的概念 我們先來看一個實際問題 ——— 求曲邊梯形的面積。 設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線 y=f(x)、 x軸與直線 x=a、 x=b所圍成。如下圖所示： 現(xiàn)在計算它的面積 ，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？ 我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高 f(x)在區(qū)間 [a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間 [a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面 積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。 顯然：把區(qū)間 [a,b]分的越細(xì)，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了 定積分的概念 。 定積分的概念 設(shè)函數(shù) f(x)在 [a,b]上有界，在 [a,b]中任意插入若干個分點 a=x0x1...xn1xn=b 把區(qū)間 [a,b]分成 n 個小區(qū)間 [x0， x1]， ...[xn1,xn], 在每個小區(qū)間 [xi1,xi]上任取一點 ξi(x i1≤ξi≤x i),作函數(shù)值 f(ξi) 與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△x i， 并作出和 ， 如果不論對 [a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點 ξi 怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時，和 S總趨于確定的極限 I， 這時我們稱這個極限 I 為函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上的 定積分 ， 記作 。 即： 關(guān)于定積分的問題 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù) f(x)滿足什么 條件時才可積？ 定理 （ 1）：設(shè) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則 f(x)在區(qū)間 [a,b]上可積。 （ 2）：設(shè) f(x)在區(qū)間 [a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則 f(x)在區(qū)間 [a,b]上可積。 定積分的性質(zhì) 性質(zhì) (1)：函數(shù)的和 (差 )得定積分等于它們的定積分的和 (差） . 即： 性質(zhì) (2)：被積 函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面 . 即： 性質(zhì) (3)：如果在區(qū)間 [a,b]上， f(x)≤g(x) ，則 ≤ （ ab) 性質(zhì) (4)：設(shè) M 及 m 分別是函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上的最大值及最小值，則 m(ba)≤ ≤M(b a) 性質(zhì) (5)：如果 f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間 [a,b]上至少存在一點 ξ ，使下式成立： =f(ξ)(b a) 注：此性質(zhì)就是 定積分中值定理 。 微積分積分公式 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，并且設(shè) x 為 [a,b]上的一點 .現(xiàn)在我們來考察 f(x)在部分區(qū)間 [a,x]上的定積分 ,我們知道 f(x)在 [a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。 如果上限 x 在區(qū)間 [a,b]上任意變動，則對于每一個取定的 x 值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在 [a,b]上 定義了一個函數(shù) ，記作 φ(x): 注意 ：為了明確起見，我 們改換了積分變量 （定積分與積分變量的記法無關(guān)） 定理 (1)： 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在 [a,b]上具有導(dǎo)數(shù)， 并且它的導(dǎo)數(shù)是 （ a≤x≤b) (2)： 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則函數(shù) 就是 f(x)在 [a,b]上的一個 原函數(shù)。 注意： 定理（ 2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。 牛頓 萊布尼茲公式 定理 (3)： 如