【導讀】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；2．理解數(shù)列的通項公式的意義和一些基本量之間的關系；3．能通過一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項公式和前n項和的問題。,0,3,3432aaa由此可知:數(shù)列}{na是。周期變化的,且三個一循環(huán),所以可得:.3220???例1．設數(shù)列{}na的通項公式是285nann???如果是，是第幾項？寫出這個數(shù)列的前5項，并作出前5項的圖象；就可以知道；而作圖時則要注意數(shù)列與函。要注意定義域問題。所以70是這個數(shù)列中的項，是第13項。時，na最小，即4a最小。均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上,求數(shù)列{}na的通。解：依題意得，32,nnnS??（Ⅱ）若數(shù)列{}nb滿足12111*44...4.()nnbbbbnanN??????,證明：{}nb是等差數(shù)列;分析：本題第1問采用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項問題，第2問依然是構(gòu)造問題。，12）.按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過7. ，即2793為該數(shù)列的第15項。3．注意函數(shù)與方程思想方法的運用。2．一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，則它的第1項是163，第2項是8。na是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若1231

　　

【正文】 直線 L0平移 當 L0的平行線過 B 點時，可使 z=6x+10y 達到最小值 當 L0的平行線過 A 點時，可使 z=6x+10y 達到最大值 所以 zmin=16。zmax=50 點撥： 幾個結(jié)論： (1)、線性目標函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得。 （ 2）、求線性目標函數(shù)的最 優(yōu)解，要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義 ——在 y 軸上的截距或其相反數(shù)。 例 ?????????????0520402yxyxyx， （ 1） 求 yxz 2?? 的最大和最小值。 （ 2） 求 xyz? 的取值范圍。 （ 3） 求 22 yxz ?? 的最大和最小值。 解析：注意目標函數(shù)是代表的幾何意義 . 解：作出可行域。 （ 1） 12 22zz x y y x? ? ? ? ? ?， 作一組平行線 l： 122zyx?? ? ， 解方程組 04 052{ ??? ???yx yx 得最優(yōu)解例 1 圖 B（ 3， 1）， 3 2 1 5minz? ? ? ? ?。解 02 052{ ??? ???yx yx 得最優(yōu)解 C（ 7， 9）， max 7 2 9 25z? ? ? ? ? （ 2） 00???? xyxyz 表示可行域內(nèi)的點（ x,y）與（ 0， 0）的連線的斜率。從圖中可得， k z kOB OA?? ，又 13,3kkOA OB??， 1 33 z? ? ? 。 （ 3） 2 2 2 2( 0 ) ( 0 )z x y x y? ? ? ? ? ?表示可行域內(nèi)的點（ x,y）到（ 0， 0）的距離的平方。從圖中易得， 2minz OF? ，（ OF 為 O 到直線 AB 的距離）， 2maxz OC? 。 004 222OF ????，228, 130OF OC??， 130maxz??， 8minz ? 。 點撥 ： 關鍵要明確每一目標函數(shù)的幾何意義，從而將目標函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍 . 例 3． 本公司計劃 2020 年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告，廣告總費用不超過 9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為 500元 /分鐘和 200 元 /分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為 萬元和 萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？ 分析：本例是線性規(guī)劃的實際應用題，其解題步驟是：（ 1） 設出變量，列出約束條件及目標函數(shù)；（ 2）畫出可行域（ 3）觀察平行直線系 3000 2020z x y??的運動，求出目標函數(shù)的最值 . 解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 x 分鐘和 y 分鐘，總收益為 z 元，由題意得3005 0 0 2 0 0 9 0 0 0 00 0 .xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 目標函數(shù)為 3000 2020z x y??． 二元一次不等式組等價于 3005 2 9000 0.xyxyxy???????≤ ，≤ ，≥ ， ≥ 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 如圖： 作直線 : 3 0 0 0 2 0 0 0 0l x y??， 即 3 2 0xy??． 平移直線 l ，從圖中可知，當直線 l 過 M 點時，目標函數(shù)取得最大值． 聯(lián)立 3005 2 ???? ??? ，解得 100 200xy??， ． ?點 M 的坐標為 (100200)， ． m a x 3000 2020 700000z x y? ? ? ?（元） 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 例 3 答：該公司在甲電視臺做 100 分鐘廣告，在乙電視臺做 200分鐘廣告，公司的收益最大，最 大收益是 70萬元． 【反饋練習】 502xyyax? ? ??????≥ ，≥ ，≤ ≤表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 a 的取值范圍是 57a?≤ P（ x， y）在不等式組????????????022,01,02yxyx 表示的平面區(qū)域上運動，則 z＝ x－ y的取值范圍是 [－ 1，2] x 、 y 滿足約束條件5,3 2 12,0 3,0 4.xyxyxy???? ???? ???? ???則使得目標函數(shù) 65z x y??的最大的點 (, )xy 是 （ 2,3） ． xy， 滿足 2203xyxyy???????≥ ，≤ ，≤ ≤ ，則 2z x y??的取值范圍是 ? ?57?， A（ 3，－ 1）、 B（－ 1， 1）、 C（ 1， 3）為頂點的△ ABC 的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù) z=3x－ 2y的最大值和最小值 . 分析：本例含三個問 題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式 —— 不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值 解：如圖，連結(jié)點 A、 B、 C，則直線 AB、 BC、 CA所圍成的區(qū)域為所求△ ABC區(qū)域 直線 AB的方程為 x+2y－ 1=0， BC及 CA 的直線方程分別為 x－ y+2=0， 2x+y－ 5=0 在△ ABC內(nèi)取一點 P（ 1， 1）， 分別代入 x+2y－ 1， x－ y+2， 2x+y－ 5 得 x+2y－ 10， x－ y+20， 2x+y－ 50 因此所求區(qū)域的不等式組為 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 作平行于直線 3x－ 2y=0的直線系 3x－ 2y=t（ t為參數(shù)），即平移直線 y=23 x，觀察圖形可知：當直線 y=23 x－ 21 t過 A（ 3，－ 1）時，縱截距－ 21 t最小新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:/:/新疆此時 t最大， tmax=3 3－ 2（－ 1） =11；當直線 y=23 x－ 21 t經(jīng)過點 B（－ 1， 1）時，縱截距－ 21 t最大，此時 t有最小值為 tmin= 3（－ 1）－ 2 1=－ 5 因此，函數(shù) z=3x－ 2y在約束條件 x+2y－ 1≥ 0， x－ y+2≥ 0， 2x+y－ 5≤ 0 下的最大值為 11，最小值為－ 5 。 第 10 題 第 4 課 不等式綜合 【考點 導讀 】 能利用不等式性 質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關數(shù)學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等 . 【基礎 練習 】 1. 若函 數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?2 2112 , 022xf x x x g x xx???? ? ? ? ???? ??，則 ??fx與 ??gx 的大 小關 系是? ? ? ?f x g x? ? ? ? ?22f x a x a? ? ?在區(qū)間 ? ?0,1 上恒為正，則 a 的取值范圍是 0＜ a＜ 2 ? ?,xy 在直線 3 2 0xy? ? ? 上移動時， 3 27 1xyz ? ? ?的最小值是 7 0≤ m≤ 4的 m，不等式 x2+mx＞ 4x+m－ 3 恒成立，則 x的取值范圍是 x＞ 3 或 x＜ － 1 【 范例導析 】 例 已知集合 ??????? 2,21P，函數(shù) ? ?22lo g 22 ??? xaxy 的定義域為 Q （ 1）若 ??QP? ，求實數(shù) a 的取值范圍。 （ 2）若方程 ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解，求實數(shù) a 的取值范圍。 分析：問題（ 1）可轉(zhuǎn)化為 2 2 2 0ax x? ? ?在 ?????? 2,21內(nèi)有有 解 ；從而和問題（ 2）是同一類型的問題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù) . 解：（ 1）若 ??QP? ， 0222 ???? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有有解 xxa 222 ???? 令2121122222 ??????? ?????? xxxu 當 ??????? 2,21x時， ???????? 21,4u 所以 a4,所以 a 的取值范圍是 ? ?4??aa （ 2）方程 ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 ， 則 0222 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 。 2121122222 ??????? ????? xxxa 當 ??????? 2,21x時， ??????? 12,23a 所以 ??????? 12,23a時， ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 點撥 ：本題用的是參數(shù)分離的思想 . 例 、乙兩地相距 kms ，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過 km/hc ，已知汽車 每小時的運輸 ． ． ． ． ． ．成本 ． ． （以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 km/hv 的平方成正比，且比例系數(shù)為 b ；固定部分為 a 元． （ 1） 把全程運輸成本 y 元表示為速度 km/hv 的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； （ 2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 分析： 需由實際問題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解 解： （ 1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為 hvs ，全程運輸成本為 )(2 bvvasvsbvvsay ?????? ．故所求函數(shù)為 )( bvbasy ?? ，定義域為 )0( cv ，? ． （ 2）由于 vbas 、 都為正數(shù)， 故有 bvbasbvvas ???? 2)(，即 absbvvas 2)( ?? ． 當且僅當 bvva? ，即bav?時上式中等號成立． 若 cba?時，則bav?時，全程運輸成本 y 最??； 當 cba?，易證 cv??0 ，函數(shù) )()( bvvasvfy ??? 單調(diào)遞減，即 cv? 時， )(m in bccasy ??． 綜上可知，為使全程運輸成本 y 最小， 在 cba?時，行駛速度應為bav?； 在 cba?時，行駛速 度應為 cv? ． 點撥：本題主要考查建立函數(shù)關系式、不等式性質(zhì)（公式）的應用．也是綜合應用數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的一道優(yōu)秀試題． 【反饋練習】 10 ??a ，函數(shù) )22(lo g)( 2 ??? xxa aaxf ，則使 0)( ?xf 的 x 的取值范圍是 ),0( ?? 213log ( 2 3)y x x? ? ?的單調(diào)遞增區(qū)間是 (∞， a]，那么實數(shù) a 的取值范圍是 ____ a1____ x 的不等式 mxx ??42 對任意 ]1,0[?x 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍為 ( , 3]??? 4 已知二次函數(shù) f (x)= ? ?0,12 ???? aRbabxax 且,設方程 f (x)=x 的兩個實根為 x1 和 x2．如果 x12＜x24，且函數(shù) f (x)的對稱軸為 x=x0，求證： x0＞ — 1． 證明： 設 g(x)= f (x)— x= ? ? ? ? 212 ???????? gxxaxbax 得，由，且，且 g(4)0，即,81,221443,221443,03416 ,0124 ???????????? ??? ??? aaaababa ba 得由 ∴ .1814 112,41128 32 ???????????? abxaaba 故