【導讀】例如，質譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應用都與之。此外，研究帶電粒子在電場和磁場中的運動已經(jīng)成為等離子體物理。理論研究的一個重要組成部分。行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經(jīng)典電磁場理論和經(jīng)典力學出發(fā)。研究帶電粒子的經(jīng)典軌道，也很少有人對存在彈性界面的情況進行分析。本文還求解了磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程，本項目的研究成果對開拓和擴展電磁場理論應用的新領域具有一定的參考作用。本文主要闡述了五個方面的內(nèi)容。的亥姆霍茲方程；五，應用麥克斯韋應力張量計算某些電磁作用力。

　　

【正文】 道 0? =0 時，由前面的分析可知，若1 Ed eF?，則粒子碰到上界面后返回原點形 成 閉 合 軌 道 ， 粒 子 碰 到 上 界 面 時 ， 21 22eF Ed t t??? ? ?。由此推出12 2 2E E e d Ft eF? ? ???? ， 由 對 稱 性 可 知 粒 子 運 動 的 周 期 為12 2 2 2E E e d FT eF? ? ???? 。 0 0?? 時，由 202 c o s2eF EZ t t???? ? ?可知：0 2???時才可能形成閉合軌道，根據(jù)前面的分析，當 10cos eFdE? ?時，粒子在運動過程中碰到上界面，由于界面是完全彈性的，通過分析可以看出只有粒子初次碰到上界面時在 0?? 處，此時軌道才為閉合的。設碰撞時時時間為 1t 。由于 dzdt 為遞減函數(shù)，所以只要保證1|0ttdzdt ? ? 即可。若軌道為閉合的，即滿足 1 1 1( ) 0 , ( )t Z t d? ? ? ?，1|0ttdzdt ? ? 。 解 以 上 方 程 得 ： 10c o s 2 22L Ld je FjE E? ??? ? ???? ( 1,2,3...)j? ，0cos 2 LjeFE?? ???，周期 22LjTt? ???? 。 （ 2）粒子在運動中只碰到下界面后形成閉合軌道 重慶師范大學碩士學位論文 4 帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 18 0? =0 時， 若1 Ed eF?，則粒子不會碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成閉合軌道。 0??? 時，則粒子沿 Z 軸負方向出射。此時粒子碰到下界面后才可能返回 原 點 形 成 閉 合 軌 道 。 經(jīng) 計 算 粒 子 到 達 下 界 面 的 時 間21 2 2 2 2 2E e d F Et eF? ? ???? 。由于對稱性，粒子一定能返回到原點。且粒子從碰撞后到原點的時間 21tt? ，故周期 21 2 2 2 2 22 E e d F ETt eF? ? ????? 0??? 時，由于界面是完全彈性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面時在 0?? 處，此時軌道才為閉合的，設初次碰撞時間為 1t ，若軌道為閉合的，即滿足 1( ) 0t???， 12()Z t d?? 以 上 方 程 ， 得 ： 20c o s 2 22L Ld je FjE E? ??? ? ??? ? ?( 1,2,3...)j?，周期22LjTt? ???? 。當滿足以上條件時粒子只碰到下界面就形成閉合軌道。 粒子在運動中碰到兩個界面后才形成閉合軌道 若粒子在運動中碰到兩個界面后才形成閉合軌道，在此情況下粒子滿足：恰好碰第一個界面時 () 0t? ? 時。下面，分幾種情況進行討論： （ 1）當 0? =0 時，即粒子沿 Z 軸出射。若1 Ed eF?，則粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成閉合軌道。 （ 2）當 0??? 時，即粒子沿 Z 軸負方向出射。由對稱性可知，若2 Ed eF?，則粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成閉合軌道。 （ 3）0 2???時，由公式 ()，令 z= 1d ，可知粒子初次到達上界面的時間為： 20 0 11 2 c o s 2 2 c o s 2E E e d Ft eF? ? ? ? ?? ? ?? () 重慶師范大學碩士學位論文 4 帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 19 把 1t 帶入公式 ()得0112( ) s in s in ( )LL Ett? ? ????。經(jīng)過上界面的反彈以后，粒子到達下界面，同理可求出到達下界面的時間為 20 0 22 2 c o s 2 2 c o s 2E E e d Ft eF? ? ? ? ?? ? ?? () 若此時粒子恰好碰到上界面時在 0?? 處，則能形成閉合軌道，幫軌道閉合時有： 122 ( ) ( )tt??? ? ? () 由上式解出 0? 即為形成閉合軌道時的初射角，軌道得周期 1242T t t??。 （ 4）0 2???時，由公式 ()，令 2zd? 可知粒子初次到達下界面時間為： 20 0 21 2 c o s 2 2 c o s 2E E e d Ft eF? ? ? ? ???? () 把 1t 代入公式 ()得1 0 112( ) s i n s i n ( )LL Ett? ? ????。經(jīng)過下界面反彈后，粒子到達上界面，同理可求出粒子到達上界面時間為： 20 0 12 2 c o s 2 2 c o s 2E E e d Ft eF? ? ? ? ?? ? ?? () 若此時粒子恰好碰到上界面時在 0?? 處，則能形成閉合軌道。故閉合時由122 ( ) ( )tt???? 可解出 0? ，此即形成閉合軌道的初射角，周期為 1242T t t??。 帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個彈性界面時閉合軌道的模擬 在計算中，各參量的取值如下： B=2T， E=， F=100V/cm。計算中采取原子單位制， 1e ???， 1 10000 .d au? ， 2 2020 .d au? 。 粒子沒有碰到任何界面時的閉合軌道 當 E=， F=100V/cm 時，11 8 9 .4 .4 1 1 7 6E deF ??，故可以碰到上界面。閉合軌道形成的任何為：0cos 22 LF jE?? ??。 重慶師范大學碩士學位論文 4 帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 20 當 j=1 時， 0c os ? ? ，此時粒子的閉合軌道如圖 （ a）所示。 當 j=2 時， 0c os ? ? ，此時粒子的閉合軌道如圖 （ b）所示。 圖 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道 當 j=3,4,5,6… 時，經(jīng)計算均不滿足條件 210cosEd eF ??，故不存在閉合軌道。 粒子只碰到上界面時的閉合軌道 I. 當 0 0?? 時，粒子沿 Z 軸出射，此時粒子閉合軌道如圖 (a)所示。 圖 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時的閉合軌道 III. 當 0 0?? 時，此時閉合軌道形成的條件為 10c o s 2 22L Ld je FjE E? ??? ? ????，且0cos 22 LjeFE?? ???。 重慶師范大學碩士學位論文 4 帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 21 當 j=1 時，0c o s 0 . 7 6 4 3 0 6 4 7 6 5 0 . 5 2 9 3 8 6 6 2 1 422 Lje F E?? ??? ? ?時。此時粒子閉合軌道如圖 (b)所示。 當 j=2,3,4… 時，均不滿足條件0cos 22 LjeFE?? ???,故不存在閉合軌道。 粒子只碰到下界面時的閉合軌道 I. 當 0??? 時，即粒子沿 Z 軸負方向出射。此時粒子閉合軌道如圖 (a)所示。 II. 當 0??? 時 ， 此 時 閉 合 軌 道 形 成 的 條 件 為 ：10c o s 2 22LLd je FjE E? ??? ? ??? ? ?，且 10cos eFdE? ? 。 當 j=1 時， 0c os ? ? ，此時粒子閉合軌道如圖 中 (b)所示。 當 j=2 時 ， 0c os ? ? ，此時粒子閉合軌道如圖 中 (c)所示。 當 j=3,4,5… 時 10cos eFdE? ?，故此時不存在閉合軌道。 圖 帶電粒子在平行電場中只與下界面碰撞時形成的閉合軌道 討論 帶電粒子 在電磁場中的運動，是一個較為復雜的問題，本 章 就一種殊情況，電場和磁場平行的情況，從哈密頓正則方程出發(fā)討論了其運動方程。并根據(jù)其運動方程討論了有兩個彈性界面時的閉合軌道：通過計算可以看出，當初始條件滿足一定關系時，確實能形成閉合軌道，并且軌道的數(shù)目與初始條件有關。最后根重慶師范大學碩士學位論文 4 帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運動 22 據(jù)討論的結果運用計算機編程繪出閉合軌道。本 章 的研究可以使我們更形象更直觀的了解帶電粒子在電場和磁場中的運動情況。對于很多負離子體系 (如 H 體系 ) 在均勻強外場中的運動問題，當最外面的電子離原子核較遠時，電子與原子核之間的庫侖勢和電子與強外場之間的 作用勢相比便可以忽略不計，因此負離子體系在外場中得運動學問題可以簡化為電子在強外場中的運動問題。通過對帶電粒子在電磁場中運動的分析，可為帶電粒子在電磁場中的動力學性質的研究打好理論基礎。 重慶師范大學碩士學位論文 4 求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 23 5 求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 問題與分析 雙環(huán)靜電問題是指真空中任意方向、任意位置處放置的軸線相交 的兩個均勻帶電圓環(huán)靜電問題，如圖 所示，求全空間中的電勢分布。 圖 該問題看似很簡單，只要把雙環(huán)各自在周圍空間激發(fā)產(chǎn)生的電勢疊加起 來 就得到空間電勢解表達式了 ?？墒聦嵅蝗唬驗槲覀兯闹皇菃苇h(huán)軸對稱的電勢解表達式，雙環(huán)時空間已不再具備軸對稱性，沒法直接引用軸對稱電勢解簡單相加來完成，誠然還有一個辦法，那就是進行坐標變換 —— 把非對稱環(huán)在帶撇號坐標系中的軸對稱解變換到不帶撇號坐標系中的電勢解，然后再作疊加實現(xiàn)，但坐標變換關系比較復雜不易導出電勢解析式。本 章 我們避開疊加原理與坐標變換而使用均勻帶電圓環(huán)在球坐標中的特定球面上電荷密度表象、勒讓德函數(shù)級數(shù)展開法、球函數(shù)的加法定理、分區(qū)分離變量法解電勢拉普拉斯方程結合分區(qū)界面上的邊值關系得到雙環(huán)電勢問題的解析解，并作簡單討 論。 雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級數(shù)展開 如圖 所示，我們以雙環(huán)軸線的交點為球坐標原點，環(huán) 1 的軸線為 Z 軸，環(huán)1 的環(huán)心位于球坐標 ( 1d ， 0， 0)，環(huán) 1 半徑為 n，帶電總量是 1Q ；環(huán) 2 軸線方向在重慶師范大學碩士學位論文 4 求解某些磁標量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 24 直角 坐標 OXYZ 相 應 的球坐標經(jīng)緯角為 0? 和 0? 上，環(huán) 2 的環(huán)心位于球坐標 ( 2d ， 0? ，0? )，半徑為 2r ，帶電總量為 2Q 。于是由幾何關系有 11tin rd? ?1 , 222tin rd? ? ,R1= 2211dr? , R1= 22dr? () 而由于環(huán) 1 在 OXYZ 直角坐標相應的球坐標 (r,? ,? )中半徑為 1R 的球面上的電荷面密度表象為 111 1 122( ) ( c o s c o s ) ( )2 2 s i nRR? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? () 環(huán) 2 在 39。 39。 39。OXYZ 直角坐標相應的球坐標（ 39。 39。 39。,r ? ? ）中的半徑 2R 的球面上的電荷面密度表象是 222 2 2( ) ( c o s c o s ) ( )2 2 s i nRR? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? () 把 ()、 ()兩式在各自球坐標中按勒讓德函數(shù)展開，即得 1112 01 21( ) ( c o s ) ( c o s )22 lllQ l PPR? ? ? ?????? ? () 22120221( ) ( c o s ) ( c o s )22 lllQ l PPR? ? ? ?? ?????? ? () 而 0 0 0c o s c o s c o s sin sin ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，所以由球函數(shù)的加法定理有 1 *1 0 04( c o s ) ( , ) ( )21 lm lmmlP Y Yl ?? ? ? ? ???? ??? ? () 用連帶勒讓德函數(shù)表示，即代入 ( 2 1 ) ( ) !( ) ( )4 ( ) ! m imlm ll l mY P elm ?? ? ????? ?得 ( 0 )10( ) !( c o s ) ( c o s )( ) !l m m ilmllmP P elm ???? ????? ? ?? () 把 ()代入 ()得 ( 0 )22 2 0202( , ) ( c o s ) ( c o s ) ( c o s )2mimml l ll m lQ P p P eR ??? ? ? ? ? ?? ???? ? ?? ?? ()