【導(dǎo)讀】的進(jìn)步，數(shù)字圖像處理也得到了很大的發(fā)展。這些處理技術(shù)被廣泛運(yùn)用于醫(yī)學(xué)影像，天。文學(xué)和石油礦業(yè)等領(lǐng)域。這篇論文從數(shù)字圖像介紹開(kāi)始，使用C++中包含的CImage類(lèi)。同功能不同算法的比較。設(shè)計(jì)出來(lái)的軟件主要包含以下幾個(gè)處理功能：圖像二值化，圖。立葉變換及頻域內(nèi)的濾波。最后介紹了圖像頻域處理的方法及過(guò)程，進(jìn)而分析時(shí)域與頻域處理之間的關(guān)系。

　　

【正文】 WNknWMk N?1n=0M?1 =0M?1 =0 k=0,1,? ,N1, l=0,1，?， M1 () 式中 WN = ? 2 N ,WM = ? 2 。 二維離散付里葉變換 因?yàn)樗哂械姆蛛x性質(zhì)， 可通過(guò)兩次一維離散付里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn) : 先作一維 N 點(diǎn) DFT（對(duì)每個(gè) m 做一次，共 M 次） A(k,m)= ∑ x(n,m) ? 2 N knN?1n=0 k=0,1,? ,N1； l=0,1,? ,M1 () 這兩次離散付里葉變換都可以用快速算法求得 ,若 M和 N 都是 2 的冪 ,則可使用基二 FFT 算法 ,所需要乘法次數(shù)為 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 25 NM2 log2M+MN2 log2N= MN2 log2MN () 而直接計(jì)算二維離散付里葉變換所需的乘法次數(shù)為（ M+N） MN， 由此可見(jiàn) 當(dāng) M 和 N 比較大時(shí)用用 FFT 運(yùn)算，可節(jié)約很多運(yùn)算量。 其中核心代碼段為： for(j = 0。 j h。 j++)//在垂直方向上進(jìn)行快速傅里葉變換 { FFT(amp。T[w*j], amp。F[w*j], wp)。 } for(j = 0。 j h。 j++) { for(i = 0。 i w。 i++) { T[j+h*i] = F[i+w*j]。 } } for(j = 0。 j w。 j++)//在水平方向進(jìn)行快速傅里葉變換 { FFT(amp。T[h*j], amp。F[h*j], hp)。 } 圖像的頻率域?yàn)V波是圖像頻率域中非常重要的處理方法。我們假設(shè)圖像的空間域函數(shù)為 f(x,y)其轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的頻域函數(shù)為 F(u,v)。由以上的分析我們可以知道， F(u,v)是所有f(x,y)被指數(shù)項(xiàng)修正的值的疊加，因此一般情況下圖像的特定分量和其變換之間不可能建立起直接的聯(lián)系。但是圖像經(jīng)過(guò)傅里葉變換之后的頻域分量卻能反映出圖像的空間特征。正如開(kāi)始所介紹，圖像的頻率信息與圖像的變化率（也就是指圖像的強(qiáng)度變化）有直接的關(guān)系。在 u = v = 0 的點(diǎn)是代表了頻率變化最慢的成分，反映的是圖像平均的灰度級(jí)。當(dāng)離原點(diǎn)逐漸變遠(yuǎn) 時(shí)，離原點(diǎn)相對(duì)近的頻率分量（低頻）對(duì)應(yīng)了圖像變化較慢的部分，這也就是指圖像中平滑的部分，而離原點(diǎn)相對(duì)較遠(yuǎn)的頻率分量（高頻）對(duì)應(yīng)了圖像變化激烈的灰度級(jí)，這些往往都是由于物體的邊緣和突發(fā)的噪聲引起的。 我們?cè)趯?duì)圖像頻域?yàn)V波時(shí)，過(guò)程是簡(jiǎn)單明了的，其步驟概括如下 [5]： 1）將圖像的時(shí)域灰度值函數(shù)乘以 (1)x+y 對(duì)圖像做中心變換，公式如下： FFT( f(x,y) * (1)x+y) = F(u – M/2 , v – N/2) 2）對(duì) 1）中的式子做 FFT 變換計(jì)算得到圖像的離散傅里葉變換，即 F(u,v) 3）將 頻域函數(shù) F(u,v)乘以頻域?yàn)V波器函數(shù) H(u,v) 4）將 3）中得到的結(jié)果做反傅里葉變換 5）取 4）中結(jié)果的實(shí)部 6）將 5）中的結(jié)果乘以 (1)x+y 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 26 可以將上述計(jì)算步驟總結(jié)為一個(gè)流程圖： f(x,y) g(x,y) 輸入 增強(qiáng)后 圖像 的圖像 圖 頻域?yàn)V波流程圖 其中 H(u,v)頻域函數(shù)就是處理中的濾波器，常用的術(shù)語(yǔ)稱(chēng)為濾波器傳遞函數(shù)， 它是濾波時(shí)的關(guān)鍵，可以抑制某一些我們不感興趣的頻率分量而不影響其他有用的頻率分量。當(dāng)圖像信息做離散傅里葉變換并且通過(guò)濾波器后，得到的函數(shù)可以表示為： G(u,v) = H(u,v) * F(u,v) 其中的 H 與 F 都是二維函數(shù)，相乘時(shí)按照逐項(xiàng)相乘的原則進(jìn)行。以下所進(jìn)行的平滑和銳化濾波都是基于上式實(shí)現(xiàn)的。 頻域 平滑 濾波器 平滑濾波器也稱(chēng)作低通濾波器，主要對(duì)圖像的高頻部分起抑制作用。我們知道，在數(shù)字圖像 中，圖像的邊緣和突發(fā)的噪聲對(duì)應(yīng)了其頻率譜中的高頻分量，因此低通濾波器的作用就是對(duì)這些噪聲進(jìn)行濾除或者對(duì)邊緣進(jìn)行平滑。 最簡(jiǎn)單的低通濾波器就是直接過(guò)濾掉頻率譜中的高頻分量，這些分量是在距離遠(yuǎn)點(diǎn)大于指定距離 D0 的位置，這種濾波器稱(chēng)作理想的低通濾波器，它的數(shù)學(xué) 表達(dá)式可以寫(xiě)作： H(u,v) = f(x)= {1, ??(u,v) ≤ D00, ??(u,v)＞ D0 （ ） 其中 D0 表示的是頻域譜中 (u,v) 點(diǎn)至頻率中心的距離。我們假設(shè)所要處理的圖像大小為 M N，經(jīng)過(guò)離散傅里葉變換變換后也應(yīng)該有同樣的尺寸，再經(jīng)過(guò)中心變換，此時(shí)頻域中心應(yīng)該在矩形中心，也就是 (M/2,N/2)處，由此我們可以得出一下等式： D(u,v) = [(u ? M2)2+ (v? N2)2]1/2 () 跟據(jù)上面的距離公式，我們可以得到 n 階巴特沃斯低通濾波器（縮寫(xiě)為 BLPF），其定前處理 傅里葉變換 濾波函數(shù) H(u,v) 傅立葉反變換 后處理 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 27 義如下： H(u,v)= 11+ [D(u,v)/D0]2n () 其中 D0 為我們定義的一個(gè)截至頻率，可以看出當(dāng) D(u,v) = D0 的時(shí)候，濾波傳遞函數(shù)的值為 1/2，也就是說(shuō)從其最大值 1 下降到了 。 n 代表了巴特沃斯低通濾波器的階數(shù) ，階數(shù)越高巴特沃斯低通濾波器的特征越趨近理想低通濾波器，但是因此產(chǎn)生的振鈴也相對(duì)明顯，階數(shù)越低振鈴的影響越不明顯，當(dāng) n = 1 的時(shí)候，濾波器沒(méi)有振鈴也沒(méi)有負(fù)值存在 [9]。 其中濾波器的實(shí)現(xiàn)核心代碼如下： for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { double temp = (j yHeight/2)*(j yHeight/2) + (i xWidth/2)*(i xWidth/2)。 D[i + j*xWidth] = sqrt(temp)。 //將每個(gè)像素離中心的距離信息保存在數(shù)組中 } } for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { H[i + j*xWidth] = 1/(1 + pow((D[i + j*xWidth]/D0),2*n))。 //將巴特沃斯頻域?yàn)V波器信息保存至數(shù)組中 } } 在時(shí)域分析部分，我們 已經(jīng) 介紹過(guò) 高斯濾波，和巴特沃斯濾波器一樣，在頻域內(nèi)高斯濾波依然可以使使用二維的數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)： H(u,v)= ?D2(u,v)/2D02 () D0的指代的依然是截止頻率。我們可以看出當(dāng) D(u,v) = D0時(shí)，高斯濾波器的值為 。由高斯濾波器的函數(shù)圖我們可以發(fā)現(xiàn)，高斯濾波時(shí)沒(méi)有振鈴的存在，但是對(duì)控制高頻與低頻之間截止頻率的過(guò)渡并沒(méi)有巴特沃斯低通濾波器效果好 [9]。 按照其數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們依然可以編程實(shí)現(xiàn)高斯低通濾波傳遞函數(shù)，同 BLPF 將傳遞函數(shù)保存至數(shù)組中，方便操作，以下為核心代碼段： for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { double temp = (j yHeight/2)*(j yHeight/2) + (i xWidth/2)*(i xWidth/2) 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 28 D[i + j*xWidth] = sqrt(temp)。 //將每個(gè)像素離中心的距離信息保存在數(shù)組中 } } for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { H[i + j*xWidth] = exp((pow(D[i + j*xWidth],2))/(2*D0*D0))。 //將高斯低通頻域?yàn)V波器信息保存至數(shù)組中 } } 頻域銳化 濾波器 圖像的平滑濾波主要的大部分工作是衰減圖像的高頻分量，使圖像模糊起來(lái)。圖像的高頻成分主要是由圖像中邊緣和其 他急劇變化的部分構(gòu)成，因此圖像的銳化操作可以在頻域中使用高通濾波器完成，衰減圖像頻域中低頻分量，使高頻分量通過(guò)濾波器。 在頻域中濾波很好理解，實(shí)際上高通濾波就是對(duì)上一節(jié)介紹的低通濾波的反操作處理，即高通濾波器的傳遞函數(shù)可以由如下 數(shù)學(xué) 關(guān)系式表示： ( , ) 1 ( , )hp lpH u v H u v?? () 其中的 ( , )lpH uv 代表了低通濾波器的傳遞函數(shù) ，這可以說(shuō)明低通濾波器中被抑制的頻率分量可以通過(guò) ( , )hpH uv 所表示的高頻濾波器。 由上式，分別可以得到理想，巴特沃斯和高斯高通濾波器的表達(dá)式，分別如下 ： 000 ( , )1 ( , )( , ) { D u v DD u v DH u v ??? （理想高通濾波器） () 20 1( , ) 1 [ / ( , ) ] nH u v D D u v? ?（巴特沃斯高通濾波器） () 22 0( , ) / 2( , ) 1 D u v DH u v e ??? （高斯高通濾波器） () 具體實(shí)現(xiàn)核心代碼與上部分大同小異，再此就不過(guò)多累贅 。 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 29 參考文獻(xiàn) [1] 趙永志，彭國(guó)華．一種有效的圖像二值化方法 [J]．科學(xué)技術(shù)與工程． 2020年 1月．第 7卷第 1期：139 [2] 吳冰，秦志遠(yuǎn)．自動(dòng)確定圖像二值化最佳閾值的新方法 [J]．測(cè)繪學(xué)院學(xué)報(bào)． 2020年 12月．第 18卷第 4期： 283284 [3] 左飛，萬(wàn)晉森，劉航． Visual C++數(shù)字圖像處理開(kāi)發(fā)入門(mén)與編程實(shí)踐 [M]． 北京 : 電子工業(yè)出版社 , 2020： [4] 楊淑瑩 ． VC++圖像處理程序設(shè)計(jì) [M]． 北京 : 清華大學(xué)出版社 : 北京交通大學(xué)出版社 , 2020: [5] 岡薩雷斯 ， 伍茲 ． 數(shù)字圖像處理 [M]． 北京 : 電子工業(yè)出版社 , 2020： [6] 孫吉貴 ． 聚類(lèi)算法研究 [J] ． 劉杰，趙連宇 ． 軟件學(xué)報(bào) ． 2020年 1月 ． 第 2卷第 1期： 4861 [7] 魏偉波，芮筱亭 ． 圖像邊緣檢測(cè)方法研究 [J]． 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2020。30： 8091 [8] 管宏蕊，丁 輝．圖像邊緣檢測(cè)經(jīng)典算法研究綜述 [J]．首都師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ) ． 2020 年10月 ． 第 30卷： 6769 [9] 沈利華 ．頻域?yàn)V波技術(shù)在圖像復(fù)原中的應(yīng)用研究 [J]． 計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件 ． 2020 年 3月 ． 第 30卷第 3期： 127129 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 30 聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得四川大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。 本學(xué)位論文成果是本人在四川大學(xué)讀書(shū)期間在導(dǎo)師指導(dǎo)下取得的，論文成果歸四川大學(xué)所有，特此聲明。 學(xué)位論文作者（簽名） 論文指導(dǎo)教師（簽名） __________ 2020 年 06 月 10 日 四川大學(xué)本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 31 致謝 在此研究完成之際，我衷心感謝 滕奇志 老師對(duì)我的論文的指導(dǎo)， 滕 老師在論文的全過(guò)程中以專(zhuān)業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格要求我，每一個(gè)步驟，每一個(gè)設(shè)計(jì)他都仔 細(xì)審查，從命題、規(guī)劃、指導(dǎo)到審查每個(gè)步驟他都不辭辛勞地為我解答 。滕 老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神、淵博的學(xué)識(shí)深深的影響著我。同時(shí) 師兄師姐 對(duì)我的論文提供了不少幫助，給我的論文提供了很好的規(guī)劃 。圖像所所有師生 對(duì)待學(xué)術(shù)一絲不茍，精益求精，待人謙遜、真誠(chéng)的態(tài)度使我受益匪淺。 大學(xué)四年期間，我的輔導(dǎo)員孟茲常老師對(duì)我的學(xué)習(xí)和生活給予很大的幫助，他的對(duì)工作的細(xì)心、負(fù)責(zé)、盡心盡力的態(tài)度深深感動(dòng)了我，在此感謝 他這四年對(duì)我的幫助和教導(dǎo)。 四年的大學(xué)生活即將結(jié)束，回首