【導讀】的進步，數(shù)字圖像處理也得到了很大的發(fā)展。這些處理技術被廣泛運用于醫(yī)學影像，天。文學和石油礦業(yè)等領域。這篇論文從數(shù)字圖像介紹開始，使用C++中包含的CImage類。同功能不同算法的比較。設計出來的軟件主要包含以下幾個處理功能：圖像二值化，圖。立葉變換及頻域內(nèi)的濾波。最后介紹了圖像頻域處理的方法及過程，進而分析時域與頻域處理之間的關系。

　　

【正文】 WNknWMk N?1n=0M?1 =0M?1 =0 k=0,1,? ,N1, l=0,1，?， M1 () 式中 WN = ? 2 N ,WM = ? 2 。 二維離散付里葉變換 因為它具有的分離性質(zhì)， 可通過兩次一維離散付里葉變換來實現(xiàn) : 先作一維 N 點 DFT（對每個 m 做一次，共 M 次） A(k,m)= ∑ x(n,m) ? 2 N knN?1n=0 k=0,1,? ,N1； l=0,1,? ,M1 () 這兩次離散付里葉變換都可以用快速算法求得 ,若 M和 N 都是 2 的冪 ,則可使用基二 FFT 算法 ,所需要乘法次數(shù)為 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 25 NM2 log2M+MN2 log2N= MN2 log2MN () 而直接計算二維離散付里葉變換所需的乘法次數(shù)為（ M+N） MN， 由此可見 當 M 和 N 比較大時用用 FFT 運算，可節(jié)約很多運算量。 其中核心代碼段為： for(j = 0。 j h。 j++)//在垂直方向上進行快速傅里葉變換 { FFT(amp。T[w*j], amp。F[w*j], wp)。 } for(j = 0。 j h。 j++) { for(i = 0。 i w。 i++) { T[j+h*i] = F[i+w*j]。 } } for(j = 0。 j w。 j++)//在水平方向進行快速傅里葉變換 { FFT(amp。T[h*j], amp。F[h*j], hp)。 } 圖像的頻率域濾波是圖像頻率域中非常重要的處理方法。我們假設圖像的空間域函數(shù)為 f(x,y)其轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的頻域函數(shù)為 F(u,v)。由以上的分析我們可以知道， F(u,v)是所有f(x,y)被指數(shù)項修正的值的疊加，因此一般情況下圖像的特定分量和其變換之間不可能建立起直接的聯(lián)系。但是圖像經(jīng)過傅里葉變換之后的頻域分量卻能反映出圖像的空間特征。正如開始所介紹，圖像的頻率信息與圖像的變化率（也就是指圖像的強度變化）有直接的關系。在 u = v = 0 的點是代表了頻率變化最慢的成分，反映的是圖像平均的灰度級。當離原點逐漸變遠 時，離原點相對近的頻率分量（低頻）對應了圖像變化較慢的部分，這也就是指圖像中平滑的部分，而離原點相對較遠的頻率分量（高頻）對應了圖像變化激烈的灰度級，這些往往都是由于物體的邊緣和突發(fā)的噪聲引起的。 我們在對圖像頻域濾波時，過程是簡單明了的，其步驟概括如下 [5]： 1）將圖像的時域灰度值函數(shù)乘以 (1)x+y 對圖像做中心變換，公式如下： FFT( f(x,y) * (1)x+y) = F(u – M/2 , v – N/2) 2）對 1）中的式子做 FFT 變換計算得到圖像的離散傅里葉變換，即 F(u,v) 3）將 頻域函數(shù) F(u,v)乘以頻域濾波器函數(shù) H(u,v) 4）將 3）中得到的結(jié)果做反傅里葉變換 5）取 4）中結(jié)果的實部 6）將 5）中的結(jié)果乘以 (1)x+y 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 26 可以將上述計算步驟總結(jié)為一個流程圖： f(x,y) g(x,y) 輸入 增強后 圖像 的圖像 圖 頻域濾波流程圖 其中 H(u,v)頻域函數(shù)就是處理中的濾波器，常用的術語稱為濾波器傳遞函數(shù)， 它是濾波時的關鍵，可以抑制某一些我們不感興趣的頻率分量而不影響其他有用的頻率分量。當圖像信息做離散傅里葉變換并且通過濾波器后，得到的函數(shù)可以表示為： G(u,v) = H(u,v) * F(u,v) 其中的 H 與 F 都是二維函數(shù)，相乘時按照逐項相乘的原則進行。以下所進行的平滑和銳化濾波都是基于上式實現(xiàn)的。 頻域 平滑 濾波器 平滑濾波器也稱作低通濾波器，主要對圖像的高頻部分起抑制作用。我們知道，在數(shù)字圖像 中，圖像的邊緣和突發(fā)的噪聲對應了其頻率譜中的高頻分量，因此低通濾波器的作用就是對這些噪聲進行濾除或者對邊緣進行平滑。 最簡單的低通濾波器就是直接過濾掉頻率譜中的高頻分量，這些分量是在距離遠點大于指定距離 D0 的位置，這種濾波器稱作理想的低通濾波器，它的數(shù)學 表達式可以寫作： H(u,v) = f(x)= {1, ??(u,v) ≤ D00, ??(u,v)＞ D0 （ ） 其中 D0 表示的是頻域譜中 (u,v) 點至頻率中心的距離。我們假設所要處理的圖像大小為 M N，經(jīng)過離散傅里葉變換變換后也應該有同樣的尺寸，再經(jīng)過中心變換，此時頻域中心應該在矩形中心，也就是 (M/2,N/2)處，由此我們可以得出一下等式： D(u,v) = [(u ? M2)2+ (v? N2)2]1/2 () 跟據(jù)上面的距離公式，我們可以得到 n 階巴特沃斯低通濾波器（縮寫為 BLPF），其定前處理 傅里葉變換 濾波函數(shù) H(u,v) 傅立葉反變換 后處理 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 27 義如下： H(u,v)= 11+ [D(u,v)/D0]2n () 其中 D0 為我們定義的一個截至頻率，可以看出當 D(u,v) = D0 的時候，濾波傳遞函數(shù)的值為 1/2，也就是說從其最大值 1 下降到了 。 n 代表了巴特沃斯低通濾波器的階數(shù) ，階數(shù)越高巴特沃斯低通濾波器的特征越趨近理想低通濾波器，但是因此產(chǎn)生的振鈴也相對明顯，階數(shù)越低振鈴的影響越不明顯，當 n = 1 的時候，濾波器沒有振鈴也沒有負值存在 [9]。 其中濾波器的實現(xiàn)核心代碼如下： for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { double temp = (j yHeight/2)*(j yHeight/2) + (i xWidth/2)*(i xWidth/2)。 D[i + j*xWidth] = sqrt(temp)。 //將每個像素離中心的距離信息保存在數(shù)組中 } } for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { H[i + j*xWidth] = 1/(1 + pow((D[i + j*xWidth]/D0),2*n))。 //將巴特沃斯頻域濾波器信息保存至數(shù)組中 } } 在時域分析部分，我們 已經(jīng) 介紹過 高斯濾波，和巴特沃斯濾波器一樣，在頻域內(nèi)高斯濾波依然可以使使用二維的數(shù)學表達式表達： H(u,v)= ?D2(u,v)/2D02 () D0的指代的依然是截止頻率。我們可以看出當 D(u,v) = D0時，高斯濾波器的值為 。由高斯濾波器的函數(shù)圖我們可以發(fā)現(xiàn)，高斯濾波時沒有振鈴的存在，但是對控制高頻與低頻之間截止頻率的過渡并沒有巴特沃斯低通濾波器效果好 [9]。 按照其數(shù)學表達式，我們依然可以編程實現(xiàn)高斯低通濾波傳遞函數(shù)，同 BLPF 將傳遞函數(shù)保存至數(shù)組中，方便操作，以下為核心代碼段： for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { double temp = (j yHeight/2)*(j yHeight/2) + (i xWidth/2)*(i xWidth/2) 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 28 D[i + j*xWidth] = sqrt(temp)。 //將每個像素離中心的距離信息保存在數(shù)組中 } } for(int j = 0。 j yHeight。 j++){ for(inti = 0。 ixWidth。 i++) { H[i + j*xWidth] = exp((pow(D[i + j*xWidth],2))/(2*D0*D0))。 //將高斯低通頻域濾波器信息保存至數(shù)組中 } } 頻域銳化 濾波器 圖像的平滑濾波主要的大部分工作是衰減圖像的高頻分量，使圖像模糊起來。圖像的高頻成分主要是由圖像中邊緣和其 他急劇變化的部分構成，因此圖像的銳化操作可以在頻域中使用高通濾波器完成，衰減圖像頻域中低頻分量，使高頻分量通過濾波器。 在頻域中濾波很好理解，實際上高通濾波就是對上一節(jié)介紹的低通濾波的反操作處理，即高通濾波器的傳遞函數(shù)可以由如下 數(shù)學 關系式表示： ( , ) 1 ( , )hp lpH u v H u v?? () 其中的 ( , )lpH uv 代表了低通濾波器的傳遞函數(shù) ，這可以說明低通濾波器中被抑制的頻率分量可以通過 ( , )hpH uv 所表示的高頻濾波器。 由上式，分別可以得到理想，巴特沃斯和高斯高通濾波器的表達式，分別如下 ： 000 ( , )1 ( , )( , ) { D u v DD u v DH u v ??? （理想高通濾波器） () 20 1( , ) 1 [ / ( , ) ] nH u v D D u v? ?（巴特沃斯高通濾波器） () 22 0( , ) / 2( , ) 1 D u v DH u v e ??? （高斯高通濾波器） () 具體實現(xiàn)核心代碼與上部分大同小異，再此就不過多累贅 。 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 29 參考文獻 [1] 趙永志，彭國華．一種有效的圖像二值化方法 [J]．科學技術與工程． 2020年 1月．第 7卷第 1期：139 [2] 吳冰，秦志遠．自動確定圖像二值化最佳閾值的新方法 [J]．測繪學院學報． 2020年 12月．第 18卷第 4期： 283284 [3] 左飛，萬晉森，劉航． Visual C++數(shù)字圖像處理開發(fā)入門與編程實踐 [M]． 北京 : 電子工業(yè)出版社 , 2020： [4] 楊淑瑩 ． VC++圖像處理程序設計 [M]． 北京 : 清華大學出版社 : 北京交通大學出版社 , 2020: [5] 岡薩雷斯 ， 伍茲 ． 數(shù)字圖像處理 [M]． 北京 : 電子工業(yè)出版社 , 2020： [6] 孫吉貴 ． 聚類算法研究 [J] ． 劉杰，趙連宇 ． 軟件學報 ． 2020年 1月 ． 第 2卷第 1期： 4861 [7] 魏偉波，芮筱亭 ． 圖像邊緣檢測方法研究 [J]． 計算機工程與應用， 2020。30： 8091 [8] 管宏蕊，丁 輝．圖像邊緣檢測經(jīng)典算法研究綜述 [J]．首都師范大學學報 (自然科學版 ) ． 2020 年10月 ． 第 30卷： 6769 [9] 沈利華 ．頻域濾波技術在圖像復原中的應用研究 [J]． 計算機應用與軟件 ． 2020 年 3月 ． 第 30卷第 3期： 127129 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 30 聲明 本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得四川大學或其他教育機構的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 本學位論文成果是本人在四川大學讀書期間在導師指導下取得的，論文成果歸四川大學所有，特此聲明。 學位論文作者（簽名） 論文指導教師（簽名） __________ 2020 年 06 月 10 日 四川大學本科畢業(yè)論文 數(shù)字處理算法程序?qū)崿F(xiàn) 31 致謝 在此研究完成之際，我衷心感謝 滕奇志 老師對我的論文的指導， 滕 老師在論文的全過程中以專業(yè)的標準嚴格要求我，每一個步驟，每一個設計他都仔 細審查，從命題、規(guī)劃、指導到審查每個步驟他都不辭辛勞地為我解答 。滕 老師嚴謹?shù)闹螌W精神、淵博的學識深深的影響著我。同時 師兄師姐 對我的論文提供了不少幫助，給我的論文提供了很好的規(guī)劃 。圖像所所有師生 對待學術一絲不茍，精益求精，待人謙遜、真誠的態(tài)度使我受益匪淺。 大學四年期間，我的輔導員孟茲常老師對我的學習和生活給予很大的幫助，他的對工作的細心、負責、盡心盡力的態(tài)度深深感動了我，在此感謝 他這四年對我的幫助和教導。 四年的大學生活即將結(jié)束，回首