【導讀】分方程，故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程。滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解；通解就是含有獨立常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解；不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。族曲線就稱為該方程的積分曲線族。不含未知函數(shù)和它的導數(shù)的項稱為自由項，自由項為零。的線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零的方程為線性非齊次方程。baba情形，先求出?????????屬于變量可分離方程情形。再按照一階線性非齊次方程求解。把常見的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。

　　

【正文】 規(guī)則 f ，變量 z都有一個值與之對應，則稱 z 是變量 x ， y 的二元函數(shù)，記以 ? ?yxfz ,? ， D 稱為定義域。 二元函數(shù) ? ?yxfz ,? 的圖形為空間一卦曲面，它在 xy 平面上的投影區(qū)域就是定義域D 。 例如 221 yxz ??? ， 1: 22 ?? yxD 二元函數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為 1的上半球面，其定義域 D 就是 xy 平面上以原點為圓心，半徑為 1的閉圓。 2．三元函數(shù)與 n 元函數(shù) ? ?zyxfu ,? ? ? ??zyx , 空間一個點集稱為三元函數(shù) ? ?nxxxfu , 21 ?? 稱為 n 元函數(shù) 它們的幾何意義不再討論，在偏導數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。 二．二元 函數(shù)的極限 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 設 ? ?yxf , 在點 ? ?00,yx 的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意 0?? ，存在 0?? ，只要? ? ? ? ????? 2020 yyxx ，就有 ? ? ??? Ayxf , 則記以 ? ? Ayxfyy xx ??? ,lim00或? ? ? ? ? ? Ayxfyxyx ?? ,lim 00 , 稱當 ? ?yx, 趨于 ? ?00,yx 時， ? ?yxf , 的極限存在，極限值為 A ，否則，稱為極限不存在。 值得注意：這里 ? ?yx, 趨于 ? ?00,yx 是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于? ?00,yx ，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復雜；但考試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值， 不像一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。 三．二元函數(shù)的連續(xù)性 1．二元函數(shù)連續(xù)的概念 若 ? ? ? ?00 ,lim00yxfyxfyy xx ??? 則稱 ? ?yxf , 在點 ? ?00,yx 處連續(xù)。 若 ? ?yxf , 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點皆連續(xù)，則稱 ? ?yxf , 在 D 內(nèi)連 續(xù)。 2．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 1．（有界性定理）設 ? ?yxf , 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則 ? ?yxf , 在 D 上一定有界 . 定理 2．（最大值最小值定理）設 ? ?yxf , 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則 ? ?yxf , 在 D 上一定有最大值和最小值 ? ? ? ? MyxfDyx ?? ,m ax,（最大值），? ? ? ? myxfDyx ?? ,m in,（最小值） 定理 3．（介值定理）設 ? ?yxf , 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)， M 為最大值， m 為最小值。若新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 MCm ?? ，則存在 ? ? Dyx ?00, ，使得 ? ? Cyxf ?00 , 乙 典型例題 一．求二元函數(shù)的定義域 例 1．求函數(shù) xyxz ?? 3arc s in 的定義域 解：要求 13?x 即 33 ??? x ； 又要求 0?xy 即 0,0 ?? yx 或 0,0 ?? yx 綜合上述 要求得定義域 ??? ? ??? 0 03y x或??? ? ??0 30y x 例 2．求函數(shù) ? ?12ln4 222 ?????? xyyxz 的定義域 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 二．有關(guān)二元復合函數(shù) 例 1．設 ? ? 22, yyxyxyxf ???? ，求 ? ?yxf , 解：設 uyx ?? ， vyx ?? 解出 ? ?vux ?? 21 ， ? ?vuy ?? 21 代入所給函數(shù)化簡 ? ? ? ? ? ? ? ? 22 4181, vuvuvuvuf ????? 故 ? ? ? ? ? ? ? ? 22 4181, yxyxyxyxf ????? 例 2．設 ? ? 53, 22 ????? yxyxxyyxf ，求 ? ?yxf , 例 3．設 ? ?1??? xfyz ，當 1?y 時， xz? ，求函數(shù) f 和 z 例 4．設 ? ?yxfyxz ???? ，當 0? 時， 2xz? ，求函數(shù) f 和 z 。 三．有關(guān)二元函數(shù)的極限 例 1．討論 yxxayx xy???????????? ?211lim （ 0?a 常數(shù)） 解：原式 ? ?yxxyxxyayx xy?? ?? ???????????????? ??211lim 而 etxytxyttxyayx??????? ?????????? ? ??? ??11lim____ ___11lim 令 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 又? ? axyyyxxyxayxayx111limlim 2 ??????? ???? ??? ?? ?原式 ae1? 例 2．討論24200lim yx yxyx ??? 例 3．討論2423200lim yx yxyx ??? 例 4．討論22lim yxyx yxyx ?? ????? 167。 6． 2 多元函數(shù)的 偏導數(shù)與全微 分 甲 內(nèi)容要點 一．偏導數(shù) 1．定義 設二元函數(shù) ? ?yxfz ,? 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 若 ? ? ? ?x yxfyxxfx ?????? 00000,lim 存在，則記以 ? ?00,yxfx? ，或 ? ?00,yxxz?? 或 ? ?00,yxzx? 稱為 ? ?yxfz ,? 在點 ? ?00,yx 處關(guān)于 x 的偏導數(shù)。 同理，若 ? ? ? ?y yxfyyxfy ? ????? 00000 ,lim存在，則記以 ? ?00,yxfy? ，或 ? ?00, yxyz?? 或 ? ?00,yxzy? 稱為 ? ?yxfz ,? 在點 ? ?00,yx 處關(guān)于 y 的偏導數(shù)。 類似地，設 ? ?zyxfu ,? ? ?000 , zyxfx? 即 ? ?000 , xxdx zyxdf ? ? ?000 , zyxfy? 即 ? ?000 , yydy zyxdf ? ? ?000 , zyxfz? 即 ? ?000 , zzdz zyxdf ? 2．二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義 ? ?00,yxfx? 表示曲面 ? ?yxfz ,? 與平面 0yy? 的截線在點 ? ?? ?0000 , yxfyx 處的切線關(guān)于 x 軸 的斜 率 ； ? ?00,yxfy? 表 示曲 面 ? ?yxfz ,? 與平面 0xx? 的 截線 在點? ?? ?0000 , yxfyx 處的切線關(guān)于 y 軸的斜率 3．高階偏導數(shù) 設 ? ?yxfz ,? 的偏導數(shù) ? ?yxfx ,? 和 ? ?yxfy ,? 仍是二元函數(shù)，那么它們的偏導數(shù)就稱為新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 ? ?yxfz ,? 的二階偏導數(shù)，共有四種。 ? ?yxfx zxzx xx ,22 ???????????? ???? ? ?yxfyx zxzy xy ,2 ????????????? ???? ? ?yxfxy zyzx yx ,2 ??????????????? ???? ? ?yxfy zyzy yy ,22 ?????????????? ???? 當yxz???2，xyz???2在 ? ?yx, 處為連續(xù)則xy zyx z ??????? 22 也就是說在這種情況下混合偏導數(shù)與求導的次序無關(guān)。 類似地可以討論二元函數(shù)的三階及 n 階偏導數(shù)。 也可以討論 n 元函數(shù) ? ?3?n 的高階偏導數(shù)。 二．全微分 1．二元函數(shù)的可微性與全微分的定義 設 ? ?yxfz ,? 在點 ? ?00,yx 處有全增量 ? ? ? ?0000 , yxfyyxxfz ??????? 若 ? ??0?????? yBxAz ? ? ? ? ?????? ????? 022 yx? 其中 BA, 不依賴于 yx??, 只與 00,yx 有關(guān)， 則稱 ? ?yxfz ,? 在 ? ?00,yx 處可微，而 yBxA ??? 稱為 ? ?yxfz ,? 在 ? ?00,yx 處的全新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 微分，記以 ? ?00,yxdz 或 ? ?00,yxdf 2．二元函數(shù)的全微分公式 當 ? ?yxfz ,? 在 ? ?00,yx 處可微時 則 ? ? ? ? ? ? yyxfxyxfyxdz yx ?????? 000000 , ? ? ? ?dyyxfdxyxf yx 0000 , ???? 這里規(guī)定自 變量微分 xdx ?? ， ydy ?? 一般地 ? ? ? ? ? ?dyyxfdxyxfyxdfdz yx , ????? 3．二元函數(shù)全微分的幾何意義 二 元函數(shù) ? ?yxfz ,? 在點 ? ?00,yx 處 的全 微分 ? ?00,yxdz 在 幾何上 表示 曲面? ?yxfz ,? 在點 ? ?? ?0000 , yxfyx 處切平面上的點 的豎坐標的增量。 4． n 元函數(shù)的全微分公式 類似地可以討論三元函數(shù)和 n 元 ? ?3?n 函數(shù)的可微和全微分概念，在可微情況下 ? ? ? ? ? ? ? ?dzzyxfdyzyxfdxzyxfzyxdf zyx ,, ?????? ? ? ? ?knnk xn dxxxfxxxdf k ,, 1121 ?? ?? ?? 三．偏導數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可微性，偏導數(shù)的存在性與函數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 考研數(shù)學基礎(chǔ)高等數(shù)學 2 設 ? ?yxfz ,? ，則yzxz ????,連續(xù) dz? 存在? ?連續(xù)存在yxfzyzxz,??????? 四．方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)學一） 1．平面情形 ? ?yxz ,? 在平面上過點 ? ?000 ,yxP 沿方向 ? ??? cos,cos?l 的方向?qū)?shù) ? ? ? ? ? ?t yxftytxfyxlf t 0000000 ,c o s,c o sl i m, ?????? ? ?? ? ?yxfz ,? 在 點 ? ?000 ,yxP 處的梯度為 ? ? ? ? ? ? ???????? ????? y yxfx yxfyxgr adf 000000 , 而方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系為 ? ? ? ?? ? lyxg ra d fyxlf ???? 0000 , ? ? ? ?? ?lyxg ra d flyxg ra d f ,c o s, 0000? 由此可見，當 l 的方向與 ? ?00 , yxgradf 的方向一致時， ? ?00,yxlf?? 為最大，這時等于? ?00 , yxgradf 又方向?qū)?數(shù)與偏導數(shù)的關(guān)系為 ? ? ? ? ? ? ?? c o