【正文】 ? ? ?21??? xxCy 代入方程得 ? ? ? ? ? ?252 11 ????? xxxC ? ? ? ?211??? xxC ， ? ? ? ? CxxC ??? 23132 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 故所求方程的通解為 ? ? ? ? ? ? ? ? 227223 11321132 ??????????? ??? xCxxCxy （ 2）直接用通解公式（先化標準形式 x xyxdxdy sin2 ?? ） ? ? xxP 2? ， ? ? xxxQ sin? 通解 ?????? ???? ?? Cdxex xey dxxdxx 22 s in ? ? ? ?CxxxxCx d xxx ????? ?? c o ss i n1s i n1 22 （ 3）此題不是一階線性方程，但把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量， 所得微分方程 yyxdydx 4??即 31 yxydydx ?? 是一階線性方程 ? ?yyP 1??， ? ? 3yyQ ? CyyCdyeyex dyydyy ?????????? ???? ? ? 4131 31 （ 4）此題把 x 看作未知函數(shù)， y 看作自變量所得微分方程為 ? ? yxydydx co sco t ??， ? ? yyP cot? ， ? ? yyQ cos? ?????? ???????? ???? ?? CyyCdyyeex y d yy d y 2c o tc o t s i n21s i n1c o s 167。 例 4．求微分方程22 yxxydxdy ??? 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 例 5．求微分方程 ? ? ? ? 2322 11 ydxdyxxy ???? 的通解。 （ 1） ? ? ? ? 022 ???? dyyxydxxxy （ 2） ? ? ? ? 0???? ?? dyeedxee yyxxyx 例 2．求下列微分方程的通解。 這種情形，求約當因子是關(guān)鍵。 （ 1） ???????? ??? 222 yxdydyxdx ； （ 2） ???????? ??? 222 yxdydyxdx ； （ 3） ? ?xydxdyydx ?? ； （ 4） ? ?xydxy xd yyd x ln??； （ 5） ? ??????? ???? 2222 ln21 yxdyx yd yxd x； （ 6） ? ??????? ???? 2222 ln21 yxdyx yd yxd x； 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 （ 7） ???????? xydx ydxxdy 2； （ 8） ?????????? yxdy xdyydx 2； （ 9） ??????????? yxdyx xdyydx a r c ta n22； （ 10） ????????? xydyx ydxxdy a r c ta n22； （ 11） ???????? ????? yx yxdyx xdyydx ln2122； （ 12） ???????? ????? yx yxdyx ydxxdy ln2122； （ 13） ? ? ???????? ????? 22222 121 yxdyx yd yxd x； （ 14） ? ? ???????? ????? 22222 121 yxdyx yd yxd x； （ 15） ? ? ? ??????? ???? ? 22222 a r c t a n211 yxdyx y dyx dx； （ 16） ? ? ? ??????? ???? ? 22222 a r c t a n211 yxdyx y dyx dx； 第二種：特殊路徑積分法（因為積分與路徑無關(guān)） 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ??? yx yx dyyxQdxyxPyxuyxu ,00 00 , ? ? ? ? ? ??? ??? yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 , 000 第三種：不定積分法 由 ? ?yxPxu ,??? 得 ? ? ? ? ? ?? ?? yCdxyxPyxu , 對 y 求導(dǎo)， 得 ? ? ? ?? ? ? ?yCdxyxPyyuyxQ ???????? ? ,， 求出 ??yC? 積分后求出 ??yC 2．全微分方程的推廣（約當因子法） 設(shè) ? ? ? ? 0, ?? dyyxQdxyxP 不是全微分方程。 四．全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一） 1．全微分方程 ? ? ? ? 0, ?? dyyxQdxyxP ，滿足yPxQ ????? 通解： ? ? Cyxu ?, ， 其中 ? ?yxu , 滿足 ? ? ? ? ? ?dyyxQdxyxPyxdu , ?? 求 ? ?yxu , 的常用方法。 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 三．一階線性方程及其推廣 1．一階線性齊次方程 ? ? 0?? yxPdxdy 它也是變量可分離方程，通解公式 ? ???? dxxPCey ，（ c 為任意常數(shù)） 2．一階線性非齊次方程 ? ? ? ?xQyxPdxdy ?? 用常數(shù)變易法可求出通解公式 令 ? ? ? ???? dxxPexCy 代入方程求出 ??xC 則得 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ??? CdxexQey dxxPdxxP 3．貝努利方程 ? ? ? ? ? ?1,0??? ??yxQyxPdxdy 令 ??? 1yz 把原方程化為 ? ? ? ? ? ? ? ?xQzxPdxdz ?? ???? 11 再按照一階線性非齊次方程求解。不含未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項稱為自由項，自由項為零的線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零的方程為線性非齊次方程。 5．積分曲線和積分曲線族 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。 2．微分方程的階 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階 3．微分方程的解、通解和特解 滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程 的解； 通解就是含有獨立常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解； 通解有時也稱為一般解但不一定是全部解； 不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 第四章 常微分方程 167。 4． 1 基本概念和一階微分方程 甲 內(nèi)容要點 一．基本概念 1．常微分方程 含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)是一元函數(shù)則稱為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程，我們只討論常微分方程，故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程。 4．微分方程的初始條件 要求自變量取某定值時，對應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。 6．線性微分方程 如果未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次項，而且它們的系數(shù)只是自變量的函數(shù)或常數(shù)，則稱這種微分方程為線性微分方程。 二．變量可分離方程及其推廣 1．變量可分離的方程 （ 1）方程形式： ? ? ? ? ? ?? ?0?? yQyQxPdxdy 通解 ? ? ? ?? ? ?? CdxxPyQdy （注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而任 意常數(shù)另外再加） （ 2）方程形式： ? ? ? ? ? ? ? ? 02211 ?? dyyNxMdxyNxM 通解 ? ?? ? ? ?? ? CdyyN yNdxxM xM ?? ?? 1221 ? ? ? ?? ?0,0 12 ?? yNxM 2．變量可分離方程的推廣形式 （ 1）齊次方程 ??????? xyfdxdy 令 uxy? ， 則 ? ?ufdxduxudxdy ??? ? ? cxcxdxuuf du ????? ?? ||ln 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 （ 2） ? ?? ?0,0 ????? bacbyaxfdxdy 令 ucbyax ??? ， 則 ? ?ubfadxdu ?? ? ? cxdxubfa du ???? ?? （ 3） ???????? ?? ???222111 cybxa cybxafdxdy ①當 02211 ??? ba ba 情形，先求出 ??? ??? ??? 00222111 cybxa cybxa 的解 ? ???, 令 ???xu ， ???yv 則??????????????????????????uvbauvbafvbua vbuafdudv22112211 屬于齊次方程情形 ②當 02211 ??? ba ba 情形， 令 ???1212 bbaa 則 ? ? ???????? ?? ???211111 cybxa cybxafdxdy ? 令 ybxau 11 ?? ， 則 ???????? ??????211111 cu cufbadxdybadxdu ? 屬于變量可分離方程情形。 4．方程： ? ? ? ?xyPyQdxdy ?? 1 可化為 ? ? ? ?yQxyPdydx ?? 以 y 為自變量， x 為未知函數(shù) 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 再按照一階線性非齊次方程求解。 第一種：湊全微分法 ? ? ? ? ? ?yxdudyyxQdxyxP , ??? ? 把常見的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。 不滿足yPxQ ????? 但是存在 ? ?yxR , 使得 ? ? ? ? ? ? ? ? 0, ?? dyyxQyxRdxyxPyxR 為全微分方程， 新東方在線 [ /] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué) 2 也即滿足 ? ? ? ?yRPxRQ ????? 則 ? ?yxR , 稱為約當因子， 按全微分方程解法仍可求出 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?yxdudyyxQyxRdxyxPyxR , ?? 通解 ? ? Cyxu ?, 。 乙 典型例題 一．變量可分離方程及其推廣 例 1．求下列微分方程的通解。 （ 1） xyedxdy xy ?? （ 2） d