【導讀】在經(jīng)營活動中的總成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量密切相關(guān)，在不考慮產(chǎn)品積壓，假設(shè)供求平衡的條件下，x為產(chǎn)品的產(chǎn)量?其中：0C表示固定成本，如設(shè)備維修費、企業(yè)管理費等等，??1Cx表示可變成本，如購買。原材料、動力費等等。2．總收入函數(shù)??tx為國家征稅率，為產(chǎn)量。??稱為最大銷售價格。設(shè)銀行存款的年利率為r，開始存錢為0T，則t年后，變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，函數(shù))(xfy?在經(jīng)濟學中，一個經(jīng)濟函數(shù))(xf?稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)．)(xf在點0xx?因此邊際函數(shù)值)(0xf?x時，x改變一個單位(增加或減少。稱為當產(chǎn)量為0Q時的邊際成本．西方經(jīng)濟學家對它的解釋是：當生產(chǎn)0Q個單位產(chǎn)。它表示當產(chǎn)量為1000件時，再生產(chǎn)1件產(chǎn)品需要的成本為60元；生產(chǎn)900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率；總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入．平均收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，設(shè)P為價格，Q（有時也用x表示，但要注意Q與,dsQQ完全不同！

　　

【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?是 的 高 階 無 窮 小 收 斂 收 斂 ， 發(fā) 散 發(fā) 散 。是 的 同 階 無 窮 小 和 斂 散 性 相 同 。是 的 高 階 無 窮 小 收 斂 收 斂 ， 發(fā) 散 發(fā) 散 。 25 ● 三個常用于比較判斂的參考級數(shù) ： a) 等比級數(shù)：0111nnararr??? ???? ?????,收 斂 ， r發(fā) 散 ， b) P級數(shù)： 11pn n????? ? ???收 斂 ， p1發(fā) 散 ， p1 c) 對數(shù)級數(shù)： 21ln pn nn????? ? ???收 斂 ， p1發(fā) 散 ， p1 例如 ，級 數(shù) 211 1 1 1l n ! l n ! l nlnnnin n n ni???? ? ?? ?，故 2 1ln !n n??? 發(fā)散。 ● 斯特定公式： 12! 2 , 0 1l n ! (l n 1 )nnn nnnn n eennn???????? ? ? ? ????????? ? ? 【例 2】 12!2l i m l i m l i m 2nn n n n nnnn n nn e n e n e e n?? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ● 常用收斂快慢 正整數(shù) l n ( 0 ) ( 1 ) !nnn n a a n n? ?? ? ? ? ? ? 由慢到快 連續(xù)型 l n ( 0) ( 1 )xxx x a a x? ?? ? ? ? ? 由慢到快 例如 根據(jù)上面的規(guī)律可以快速判斷 lim 0nnn an?? ?等等。 4． 積分 判斂法 若 ? ? 0fx? ，在 ? ?1, ?? 上單調(diào)遞減，則 ? ?1n fn???與反常積分 ? ?1 f x dx???同斂散。 5． 對數(shù)判斂法 若 ? ?11ln10ln 收 斂n nnna aan??? ? ? ?。 ? ?11ln10ln 發(fā) 散n nnna aan??? ? ? ?。 26 例如 ??a l n 11lnl n l n l n l n 1l n l n 當 時 ， 原 級 數(shù) 收 斂 。x nna xna n x x x enn ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b ? ? ln1lnl n l n l n l n l n 1l n l nln21 nnna nn nnnn???? ? ? ?? ，原級數(shù)收斂。 陳氏第 17技 大 收小收，小發(fā)大發(fā) ， 同階同斂散 。 只有大收小發(fā)情形下，比較法才可判斂。 ● 判別正項級數(shù)收斂的一般思路：先看 lim 0nn u?? ?是否成立，如不成立，則發(fā)散，如收斂，則根據(jù)級數(shù)通項的特點考慮比值法或根值法，如果比值法或根值法的極限不易求出或等于 1，則使用比較法或其極限形式。 ● 比 階 法的極限形式是核心方法，必須 熟 諳陳氏第 17 技，否則讀者在做題時會糊涂 。比較法中最常用的技巧是 找到合適的基準級數(shù)，主要技巧有 3： 對原級數(shù)通項放縮 （ 如算術(shù)平均 ?幾何平均等常用不等式 ）、利用 等價無窮小 及利用 佩亞若余項泰勒展開 。 ● 凡是由達朗貝爾 比值法 給出的 收斂性結(jié)論，由柯西 根值法 必 可以給出相同的結(jié)論；反之卻不一定。 【例 3】設(shè) 0na? ， ??na 單調(diào)遞減， ? ?1 1n nn a?? ??發(fā)散，試證明：11 1 nn na??????????收斂。 證明：因為 0na? ， ??na 單調(diào)遞減，則 limnn a??必存在，設(shè) limnn aA?? ?， 由于 ? ?1 1n nn a?? ??發(fā)散，可推出 0li m 0 0nann a A A??? ? ? ???? ?（否則，由萊布尼茨定理判定? ?1 1 n nn a?? ?? 必收斂。） 又， ? ?l i m 0 , 0 ,n n nn a A a N n N a A?? ? ? ? ? ? ? ?單 調(diào) 遞 減 使 當 時 ， 有， ? ?? ?111101 11111nnnnnnn na AaA??????? ? ???? ??????????????為 正 項 級 數(shù) 并 收 斂 收 斂 27 【例 4】若 12 sinlim 1n nnn na?? ???????，則級數(shù)1 nn a???是否收斂。 解： 12 sin12 sin 1n nnnn n nana n ???? ????， 即 na 與 12 sinn nn? 為等價無窮小。 但 n 充分大時，由于21 1n?，則1sin311 42 sin32221 1 10, 原 級 數(shù) 收 斂 。nn n nnnn n? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 【例 5】討論1ln1 nnpnn?????????? 的收斂性。 解： ? ? 3232 12lnl n l nlnl n 1l n 11~pnop n p nnon pn nn nnpnn ppna e e n enn?????????? ???????? ???? ???? ??? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? 顯 然 1p? 收斂。 1p? 發(fā)散 【例 6】討論級數(shù) ? ?1212 nnn????? 的收斂性。 解：根據(jù)達朗貝爾 比值法 ， 有 ? ? ? ? ? ?? ?1112 1 2 121l i m l i m222 1 2 1nnnnnnnn???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 極 限 不 存 在 ， 無 法 判 斷 收 斂 性 ； 根據(jù)柯西 根值法 ， 有 ? ? ? ?1 12111l i m l i m 2 1 , 2 2 2n n nnnnn? ? ? ????? ??? ? ? ? ??????? 原 級 數(shù) 收 斂 。 【例 7】 R?? ，試討論級數(shù)的斂散性1cosnn n????。 解： ? ? ? ?111111c o sc o s 1 c o s c o s 1l im c o s c o s 1 2 1 c o s1c o sc o s 1 2 1 nnnnnnnnnnnnknnkn n nknn?? ? ???? ? ? ???? ? ???? ???????????? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ????????時 ， 絕 對 收 斂 ；時 ， 發(fā) 散 ；時 ， 條 件 收 斂 28 【例 8】判別（ 1）51 4lnnnn??? 和 （ 2）1 1 cosn n??????????? 的斂散性 。 解： (1) 51 4lnnnn??? 5415441lnl n l n 1l im l im 0 11 nnnnnnnnnnnn? ? ? ???? ? ??而 發(fā) 散 ， 根據(jù) 只有大收小發(fā)才可判斂的原則， 無法判斷51 4lnnnn???的斂散性 ； 顯然，要想辦法讓比較極限為零。 故我們另選參考級數(shù) 541 5 98 4 89891 8lnl n l n 1l im l im 0 11 nnnnnnnnnnnn? ? ? ???? ? ??而 收 斂 ， 根據(jù) 大 收小收，小發(fā)大發(fā) ， 54ln limn nn??得 收 斂 。 (2)對 1 1 cosn n??????????? 選比較基準級數(shù) 211n n??? 22222121 c os2lim lim11 20 1 c os 0002nnnnnnnn???????? ? ? ????????? ? ? ?????? ? ?? 故原級數(shù)收斂。 評 注 如 能 利用同價無窮小等手段估計出級數(shù)一般項 的階次 ，選用的比較基準級數(shù)形式就很容易確定 。例如 29 ??a ? ? 32 21 1 1 1 1 2 2 2l n l n l n 1 ~ ~1 1 1 1nn nnun n nn n n n n n?? ?? ??? ? ? ???? ? ? ????，可直接選用基 準級數(shù)31 21n n???就可知原級 數(shù)收斂 。 ??b 1 1 13220 0 01 22101 1 3n n nnnxxd x u d x x d xn??? ? ? ? ? ???? ? ? ?，也可選用基 準級數(shù) 31 21n n???就可知原級數(shù)收斂 。 ??c 111111 1 1 1nn nn o nnnnn??????? ? ? ????? ，選用基 準級數(shù)11n n???，得 原級數(shù)發(fā)散。 【例 9】 判別級數(shù)111[ ln(1 )]n nn?? ???的斂散性 解 方法一 ：試探比階法 120 0 01 1 1l n ( 1 ) 11 l n ( 1 ) 11l im l im l im l im1 ( 1 )() k k kn x x xkxxn n xxn x k x k x xn??? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? 2k?? 上 述 極限 =12 ，故原級數(shù)收斂。 方法二：泰勒展開法 2 2 2 2222 2 21121 1 1 1 1 1 1 1l n ( 1 )22111 1 12l im 1 1 222nnnnu o on n n n n n n nonnon n nn???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???????? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ??? ? ? ?????因 為 與 斂 散 性 相 同 。由 比 階 法 知 故 原 級 數(shù) 收 斂 。 三、 任意項級數(shù)的 斂散性 的 判據(jù)與常用技巧 ● 萊布尼茨判交錯級數(shù) （任意項級數(shù)的特例） ① lim 0nn u?? ? ② 1nnuu?? ?0( 1)n nn u?? ??收 斂。這是一個必要條件， 如果①不滿足，則0( 1)n nn u?? ??必發(fā)散，若只有②不滿足，則不一定收 斂 還是發(fā) 散，要使用絕對收斂判別其斂散性 。 ● 任意項級數(shù)判斂使用絕對值，使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù)，即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。 ● 任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧： ??a 微分積分法 。 換成連續(xù)變量， 再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 30 ??b k 階無窮小試探法 。在不能估計出通項的無窮小階次時，使用該試探法，見 【例 9】。 ● 變號級數(shù)的 乘積級數(shù)的兩個判斂定理 阿貝爾檢驗 1nna???收斂，且 nb 單調(diào)，則1 nnn ab???收斂。 狄利克雷 檢驗 1niia??有界，且 nb 單調(diào)趨于 0，則1 nnn ab???收斂。 【例 10】設(shè) ??fx在 ? ?0, ?? 上單調(diào)增加有界，求證： ? ? ? ?11nnn f n f x d x??? ???????? ?收斂。 證明： ? ?