【正文】 為零。例如 29 ??a ? ? 32 21 1 1 1 1 2 2 2l n l n l n 1 ~ ~1 1 1 1nn nnun n nn n n n n n?? ?? ??? ? ? ???? ? ? ????，可直接選用基 準(zhǔn)級(jí)數(shù)31 21n n???就可知原級(jí) 數(shù)收斂 。 方法二：泰勒展開法 2 2 2 2222 2 21121 1 1 1 1 1 1 1l n ( 1 )22111 1 12l im 1 1 222nnnnu o on n n n n n n nonnon n nn???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???????? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ??? ? ? ?????因 為 與 斂 散 性 相 同 。 ● 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂使用絕對(duì)值，使之轉(zhuǎn)換為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，即絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。在不能估計(jì)出通項(xiàng)的無窮小階次時(shí)，使用該試探法，見 【例 9】。 證明： ? ? ? ?。 狄利克雷 檢驗(yàn) 1niia??有界，且 nb 單調(diào)趨于 0，則1 nnn ab???收斂。 換成連續(xù)變量， 再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 三、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的 斂散性 的 判據(jù)與常用技巧 ● 萊布尼茨判交錯(cuò)級(jí)數(shù) （任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例） ① lim 0nn u?? ? ② 1nnuu?? ?0( 1)n nn u?? ??收 斂。 ??c 111111 1 1 1nn nn o nnnnn??????? ? ? ????? ，選用基 準(zhǔn)級(jí)數(shù)11n n???，得 原級(jí)數(shù)發(fā)散。 (2)對(duì) 1 1 cosn n??????????? 選比較基準(zhǔn)級(jí)數(shù) 211n n??? 22222121 c os2lim lim11 20 1 c os 0002nnnnnnnn???????? ? ? ????????? ? ? ?????? ? ?? 故原級(jí)數(shù)收斂。 【例 7】 R?? ，試討論級(jí)數(shù)的斂散性1cosnn n????。nn n nnnn n? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 【例 5】討論1ln1 nnpnn?????????? 的收斂性。 證明：因?yàn)?0na? ， ??na 單調(diào)遞減，則 limnn a??必存在，設(shè) limnn aA?? ?， 由于 ? ?1 1n nn a?? ??發(fā)散，可推出 0li m 0 0nann a A A??? ? ? ???? ?（否則，由萊布尼茨定理判定? ?1 1 n nn a?? ?? 必收斂。 ● 比 階 法的極限形式是核心方法，必須 熟 諳陳氏第 17 技，否則讀者在做題時(shí)會(huì)糊涂 。x nna xna n x x x enn ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b ? ? ln1lnl n l n l n l n l n 1l n l nln21 nnna nn nnnn???? ? ? ?? ，原級(jí)數(shù)收斂。 4． 積分 判斂法 若 ? ? 0fx? ，在 ? ?1, ?? 上單調(diào)遞減，則 ? ?1n fn???與反常積分 ? ?1 f x dx???同斂散。是 的 同 階 無 窮 小 和 斂 散 性 相 同 。 解： ? ? ? ?12 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1= = 1 2 5 5 8nn n n n n nn n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? 5． 下面三個(gè)重要結(jié)論及其證明方法具有代表性，請(qǐng)讀者 反復(fù)歷練 。 3. 任何級(jí)數(shù)收斂的必要條件是 lim 0nn u?? ? 這是因?yàn)椴糠趾? 11l i mnn k n knkkS u S u S?????? ? ? ??? 11111 l i m l i m l i m 0nnk k k n n k n nk k kkku u u S S u S S S S???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 4． 若有兩個(gè)級(jí)數(shù)1 nn u???和1 nn v???，11,nnnnu s v ????????? 則 ①1 ()nnn u v s ??? ? ? ??，11nnnnu v s ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)（如 ? ?? ?212nnn n??????）加上絕對(duì)值后就是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)（如 ? ?21nn n???? ）是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例，故判別它們的收斂性，就必須首先考慮其絕對(duì)收斂性，這時(shí)，所有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法都能使用。 所以，無窮級(jí)數(shù)不能看成是有限項(xiàng)相加，121 nnn u u u u?? ? ? ? ? ??只是形式上的記號(hào)而已。所以把全部廣告費(fèi) 萬元都投入報(bào)紙廣告是最優(yōu)策略。 解：（ I）由題設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為 22( , ) ( ) 1 5 1 3 3 1 8 2 1 0L x y R x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? 則 13 8 4 031 8 20 0L yxxL xyy?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? 解得 x=， y= 2 2 22224 0 , 8 2 01 6 0 0且L L LA B Cx x y yB A C A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 在 x=， y= 處， L 取極大值，亦即最大值。由于函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，此極小值即為函數(shù)的最小值。2339。但每生產(chǎn)一批產(chǎn)品需要調(diào)整機(jī)器費(fèi)用 160 元，在生產(chǎn)過程中，在制品占用資金的銀行年利率為 10%。39。 ?當(dāng) t=9 時(shí)，利潤(rùn)和稅收同時(shí)達(dá)最大。 18 28 tT ?? ，令 39。( ) 0Lx? 得 39。若當(dāng)t=0 時(shí)，銷售成本 y=0，存貯費(fèi)用 s=10，試求銷售成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系及存貯費(fèi)用與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。即安排勞動(dòng)力 225 個(gè)單位、原料為 個(gè)單位時(shí)，能得到最多的產(chǎn)量。為得到最多的產(chǎn)品，應(yīng)如何安排勞動(dòng)力和原料？ 解：本問題為求函數(shù) 3 / 4 1 / 4( , ) 60f x y x y? 在條件 100x+200y=30000 下 的 極 值 。 解：（ I）設(shè)消費(fèi)者的需求量為 y，消費(fèi)者的收入為 x。 解：（ I）設(shè)需求量為 Q、價(jià)格為 P，則需求函數(shù)為 Q=a+bP P=2 時(shí)， Q=1000， P=4 時(shí)， Q=800 代入得 2 10004 800abab???? ??? 解得 a=1200、 b=100 ? Q=1200100P. 18 (II)需求彈性為 12d dQ P PdP Q p? ? ? ? ? ? 當(dāng) P=10 時(shí)， 10 10d? ??? 這說明當(dāng)價(jià)格為 10元時(shí)，價(jià)格增加 1%，則需求量減少 5%；價(jià)格減少 1%，則需求量增加5%。dy u xudx?? ? 原方程變?yōu)? 339。 ( ) 1 0 1 0 0Q e Q Q e? ??? ? ? ? 得 Q=1（ Q=1 不合題義，舍去） 17 此時(shí)其利潤(rùn)為 1210e? ?? 評(píng)注 廠商取得最大利潤(rùn)時(shí)價(jià)格彈性為 1，這可以用來驗(yàn)證題目所得結(jié)果是否正確，其實(shí)此題可以令 1??? ，直接解得 Q=1。21 31 25 50 0( , ) ( ) ( 55 )5 4 962 5 10 0( 55 )4962 5 4( , ) 1 0 ( 1 )( 4 )10 0 9( , ) 1 0 ( 2)( 9 )55 ( 3 )xyxyF x y x y x yxyxyx y x yxyF x yxF x yyxy????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ????????? 由（ 1）式2625 41 (4 )x? ??? ?代入（ 2）式得 22100 9 625 40( 9 ) ( 4 )30 503 ( 4 ) 5 ( 9 )943 5 33 ( ) , )55得得 萬 元 （ 萬 元yxxyyxxyxyxy??????? ? ? ???????????? 點(diǎn)（ ， ）是唯一駐點(diǎn)，由實(shí)際問題得知，當(dāng)工資福利費(fèi)用為 萬元，培訓(xùn)費(fèi)為 萬元時(shí)，使企業(yè)利潤(rùn)最大。 解：（ 1）利潤(rùn)函數(shù) 15 221 312 5 500( , ) ( )5 4 9625 10049625 410( 4 )100 910( 9 )xyL x y x yxyxyxyxyLxxLyx? ? ? ???? ? ? ??????? ? ?????????? ? ?? ??? 得 4 25 29 10 3xy? ? ?? ? ? ? 46( )21 )萬 元（ 萬 元xy?? 2322232625 4 2( 4 )0100 9 2( 9 )LxxLxyLyy???? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? 在點(diǎn)（ 46， 21）處 2 2 24 6 4 6 4 6222 1 2 1 2 1| 0 | 0 | 0x x xy y yL L LA B Cx x y y? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 0 , 0又B AC A? ? ? 于是當(dāng) x=46（萬元）， y=21（萬元）時(shí)，利潤(rùn) L（ x， y）取得極大值。 11 l n 2.dEL xdeeee????? ? ? ????? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? 即當(dāng) 0 11 ln 2 10 .3 1 mm??? ? ? ?時(shí)，平均利潤(rùn)最大。問零件的平均內(nèi)徑 ? 取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均銷售利潤(rùn)最大？ 解：每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn) L 與自動(dòng)生產(chǎn)線加工的零件的內(nèi)徑 X（ mm）有如下關(guān)系： 5 , 1 0 ,( ) 1 0 , 1 0 1 2 ,1 0 , 1 2 .若若若XL L X XX? ??? ? ? ?????? 平均利潤(rùn)為 10 { 10 12 } 5 { 10 } 10 { 12 }10 [ ( 12 ) ( 10 ) ] 5 ( 10 ) 10 [ 1 ( 12 ) ]20 ( 12 ) 5 ( 10 ) 10 ,E L P X P X P X? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 其中 ()x? 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)， 39。 5( ) 0 , 1 4 , ( )7得 駐 點(diǎn) 舍 去L Q Q Q? ? ? ? 又 0l im ( ) 1 0 0 0 ( 0 )Q L Q L?? ? ? ? 0lim ( )Q LQ?? ??? 故產(chǎn)量 Q=14 時(shí)企業(yè)取得最大利潤(rùn)。,M R M C M R R a bQ? ? ? ? 于是： 39。 1