大學數(shù)學b試題庫-資料下載頁
2025-08-12 21:58本頁面
【導讀】）（1，2）（2，3）。xxxxf的第一類間斷點是（）。與是同階無窮小量。=2，b為任意實數(shù)B.a+b=12C.a=2，32b??的可去間斷點為1x?，所以至少存在一點(0,)ab???內(nèi)至少有一個根.
【正文】 lim1 xx xx ??? 解： 111121li m ( )1 lnln 1li m 3( 1 ) lnln 1 1li m 51ln 111li m 711 2xxxxxxxx x xxxxxxxxx??????????????????（ 分 ）（ 分 ）（ 分 ） 104. 證明：設 0ab?? ，證明： lna b a a ba b b????（ 8 分） 證明：設 ( ) lnf x x? ，顯然 ()fx在 [, ]ba 上連續(xù)，在 (, )ba 內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一點 ( , )ba?? ，使 ( ) ( )() f a f bf ab? ?? ? ?，即 lna b ab?? ? 因為 1 1 1 , ( )baab ??? ? ? ?，所以 a b a b a bab??????， 所以 lna b a a ba b b????。 105. 證明：當 1?x 時， 22 )1(ln)1( ??? xxx 證明：當 1?x 時，1 l n ( 1 )1( ) 1 l n ( 1 ) , ( ) l n 0 。( ) , ( 1 ) 0 , ( ) 0 ,x x xf x x x x f x x xf x f f x? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?原 不 等 式 等 價 于 （ ）令 （ ）即 得 證 。 ……… 8’ 106. 證明：當 0?x 時， )1ln( xx ?? 證明： 令 ),0[),1ln ()( ?????? xxxxf （ 2 分） 當 0?x 01 11)(39。 ???? xxf （ 2 分） 又因為 )(xf 在 0?x 處連續(xù)， 所以 0)0()( ?? fxf （ 2 分） 所以 )1ln( xx ?? （ 1 分） 17 107. 證明 ：當 1?x 時， exex ? （ 8 分） 證明：設 () xf x e ex??， ( ) 0 , ( 1 )xf x e e x? ? ? ? ?，所以 ()fx 在 x? 時單調(diào)遞增，即( ) (1) 0f x f??，所以 exex ? 。 108. 求曲線 222 7 2( 1)xxy x??? ?的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，拐點和極值點 （ 8分） 解 : x ( , 1)??? ( 1,1)? 1 (1,2) 2 (2, )?? ()fx? ? + 0 ? ? ? ()fx?? ? ? ? ? 0 ? ()fx ,凸 ，凸 極 大值點 11(1, )4 ，凸 拐點8（ 2,）3 ，凹 單調(diào)增區(qū)間 ( 1,1)? ,單調(diào)減區(qū)間 ( , 1)??? ， (1,2) ， (2, )?? 凹凸區(qū)間 (2, )?? ， 凹凸區(qū)間 ( , 1)??? ， ( 1,1)? ， (1,2) ， 109. 求函數(shù) 32( ) 1f x x x x? ? ? ?的單調(diào)區(qū)間、凹凸性、拐點與極值點 （ 8 分） x 1( , )3??? 13? 11( , )33? 13 1( ,1)3 1 (1, )?? ()fx? ? 0 ? ? ? 0 ? ()fx?? ? ? ? 0 ? ? ? ()fx ,凸 極大值3227 ，凸 拐點1 16( , )3 27 ，凹 極小值0 ，凹 110. 求曲線 xexy ?? 2 凹凸區(qū)間和拐點。 （ 8分） 22122 , ( 4 2 ) ,0 2 2 , 2 2 。x x xy x e x e y e x xy x x? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?由 得 ……… 4’ 18 2 2 ) ( 2 2 , ) 。2 2 2 20 2 2 2 2 。y? ? ? ? ? ????? ? ? ?凹 區(qū) 間 為 （ ，凸 區(qū) 間 為 （ ， ）由 得 拐 點 為 和……… 4’ 111. 求函數(shù)21 xxy ??在 [0, 2]上的最大值和 最小值 。 （ 8分） 21221 0 1 ( , 1 。1120 ) 0 , ( 1 ) , ( 2 ) 。251m a x , m i n 02xy y x xxy y yyy???? ? ? ? ??? ? ???， 令 得 舍 去 ）（ ）（……… 8’ 112. 求函數(shù) 496 23 ???? xxxy 在 [1,4]上的最值。 （ 8 分） 解：2123 12 9 , 0 1 , 3 。6 12 。 ( 1 ) 0 , ( 3 ) 0 ,y ( 1 ) 0 , y ( 3 ) 4y x x y x xy x y yyy??? ? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?極 大 極 小令 得……… 8’ 113. 已知曲線 123 ??? bxaxy 以 (1,3)為極值點，試求 a 和 b 的值。 （ 8 分） 解： 23 2 , 6 2 ,y ax bx y ax b? ??? ? ? ? ……… 4’ ?????(1,3) 為 極 值 點 ， y (1 )= 0, y( 1) =3 。a=4得b=6……… 4’ 114. 求曲線336( 3)xy x? ?的單調(diào)區(qū)間， 凹凸 區(qū)間，拐點和極值點 解：439。 )3( )23(36 ??? x xy=0 23?x 當 0)3( )3(636 539。39。 ?? ??? x xy 3?x （ 2 分） 所以 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 )23,3(),3,( ????? 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ),23( ??? （ 2 分） 23??x 處取極大值，拐點為 3?x 19 凹區(qū)間為： )3,3(),3,( ???? ，凸區(qū)間為 ),3( ?? （ 3 分） 115. 從一塊邊長為 a 的正方形鐵皮四角截去同樣大小的正方形，然后把四邊折起來做成一個無蓋的盒子。問要截去多大的正方形，盒子的容積最大？ （ 8 分） 解： 令要截去的正方形的邊長為 x，則盒子的容積 2( 2 ) 0 )2aV x a x x? ? ? ?（ ……… 3’ 2( 2 ) ( 6 ) , V( , (26V a x a xaax??? ? ???1令 =0 ， 得x 舍 去 ） 唯 一 的 駐 點 ） ’……… 4’ 所以當邊長為 a/6 時容積最大。 第四章不定積分 116. 第五章定積分 117. 第六章定積分的應用 118.
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