【導(dǎo)讀】刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.俯角為30°的C處。求船的航行速度是每小時多少千米；又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？三角知識解決實際問題的能力.在△ACD中，據(jù)正弦定理得CDAACDCAADsinsin?［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos2CA?試求函數(shù)f的解析式及其定義域；判斷其單調(diào)性，并加以證明；式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意|2CA?即f＜f，若x1，x2∈(23，1］，則4x12－3＞0.運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積.平方成反比，即I=k²小，求AD∶AB的值.

　　

【正文】 ★★★★ )設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a＞ 0)，方程 f(x)－ x=0 的兩個根 xx2滿足 0＜ x1＜ x2＜ a1 . (1)當 x∈［ 0， x1) 時，證明 x＜ f(x)＜ x1； (2)設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=x0對稱，證明： x0＜ 21x . ●案例探究 ［例 1］用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2 平方米的正四棱錐形有蓋容器 (如右圖 )設(shè)容器高為 h 米，蓋子邊長為 a 米 ， (1)求 a 關(guān)于 h 的解析式； (2)設(shè)容器的容積為 V 立方米，則當 h 為何值時， V 最大？求出 V 的最大值 (求解本題時，不計容器厚度 ) 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，棱錐表面積和體積的計算及用均值定論求函數(shù)的最值 . 知識依托：本題求得體積 V 的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值 . 錯解分析：在求得 a 的函數(shù)關(guān)系式時易漏 h＞ 0. 技巧與方法：本題在求最值時應(yīng)用均值定理 . 解：①設(shè) h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得： ?????????????12222412214haaaha 消去)0(11:. 2 ???? ahah 解得 ②由)1(331 22 ??? h hhaV (h＞ 0) 得： 2121)1(31 ?????? hhhhhhV 而 所以 V≤ 61 ，當且僅當 h=h1 即 h=1 時取等號 故當 h=1 米時， V 有最大值， V 的最大值為 61 立方米 . ［例 2］已知 a， b， c 是實數(shù)，函數(shù) f(x)=ax2+bx+c， g(x)=ax+b，當－ 1≤ x≤1 時 |f(x)|≤ 1. (1)證明： |c|≤ 1； (2)證明：當－ 1 ≤ x≤ 1 時， |g(x)|≤ 2； (3)設(shè) a＞ 0，有－ 1≤ x≤ 1 時， g(x)的最大值為 2，求 f(x). 命題意圖：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對值不等式的性質(zhì)靈活運用是本題的靈魂 . 錯解分析：本題綜合性較強，其解答的關(guān)鍵是對函數(shù) f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對條件“－ 1≤ x≤ 1 時 |f(x)|≤ 1”的運用；絕對值不等式的性質(zhì)使用不當，會使解題過程空洞，缺乏嚴密，從而 使題目陷于僵局 . 技巧與方法：本題 (2)問有三種證法，證法一利用 g(x)的單調(diào)性；證法二利用絕對值不等式： ||a|－ |b||≤ |a177。 b|≤ |a|+|b|；而證法三則是整體處理 g(x)與 f(x)的關(guān)系 . (1)證明：由條件當 =1≤ x≤ 1 時， |f(x)|≤ 1，取 x=0 得： |c|=|f(0)|≤ 1，即 |c|≤1. (2)證法一：依題設(shè) |f(0)|≤ 1 而 f(0)=c，所以 |c|≤ a＞ 0 時， g(x)=ax+b 在［－1， 1］上是增函數(shù)，于是 g(－ 1)≤ g(x)≤ g(1)， (－ 1≤ x≤ 1). ∵ |f(x)|≤ 1， (－ 1≤ x≤ 1)， |c|≤ 1， ∴ g(1)=a+b=f(1)－ c≤ |f(1)|+|c|=2， g(－ 1)=－ a+b=－ f(－ 1)+c≥－ (|f(－ 2)|+|c|)≥－ 2， 因此得 |g(x)|≤ 2 (－ 1≤ x≤ 1)； 當 a＜ 0 時， g(x)=ax+b 在［－ 1， 1］上是減函數(shù)，于是 g(－ 1)≥ g(x)≥ g(1)，(－ 1≤ x≤ 1)， ∵ |f(x)|≤ 1 (－ 1≤ x≤ 1)， |c|≤ 1 ∴ |g(x)|=|f(1)－ c|≤ |f(1)|+|c|≤ 2. 綜合以上結(jié)果，當－ 1≤ x≤ 1 時，都有 |g(x)|≤ 2. 證法二：∵ |f(x)|≤ 1(－ 1≤ x≤ 1) ∴ |f(－ 1)|≤ 1， |f(1)|≤ 1， |f(0)|≤ 1， ∵ f(x)=ax2+bx+c，∴ |a－ b+c|≤ 1， |a+b+c|≤ 1， |c|≤ 1， 因此，根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得： |a－ b|=|(a－ b+c)－ c|≤ |a－ b+c|+|c|≤ 2， |a+b|=|(a+b+c)－ c|≤ |a+b+c|+|c|≤ 2， ∵ g(x)=ax+b，∴ |g(177。 1)|=|177。 a+b|=|a177。 b|≤ 2， 函數(shù) g(x)=ax+b 的圖象是一條直線，因此 |g(x)|在［－ 1， 1］上的最大值只能在區(qū)間的端點 x=－ 1 或 x=1 處取得，于是由 |g(177。 1)|≤ 2 得 |g(x)|≤ 2， (－ 1＜ x＜ 1) . )21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222?????????????????????????????????xfxfcxbxacxbxaxxbxxabaxxgxxxxx?證法三 當－ 1≤ x≤ 1 時，有 0≤ 21?x ≤ 1，－ 1≤ 21?x ≤ 0， ∵ |f(x)|≤ 1， (－ 1≤ x≤ 1)，∴ |f )21( ?x |≤ 1， |f( 21?x )|≤ 1； 因此當－ 1≤ x≤ 1 時， |g(x)|≤ |f )21( ?x |+|f( 21?x )|≤ 2. (3)解：因為 a＞ 0， g(x)在［－ 1， 1］上是增函數(shù)，當 x=1 時取得最大值 2，即 g(1)=a+b=f(1)－ f(0)=2. ① ∵－ 1≤ f(0)=f(1)－ 2≤ 1－ 2=－ 1，∴ c=f(0)=－ 1. 因為當－ 1≤ x≤ 1 時， f(x)≥－ 1，即 f(x)≥ f(0)， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線 x=0 為 f(x)的圖象的對稱軸， 由此得－ ab2 ＜ 0 ，即 b=0. 由①得 a=2，所以 f(x)=2x2－ 1. ●錦囊妙計 、方程等方面的問題，在解決這些問題時，關(guān)鍵是把非不等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，在化歸與轉(zhuǎn)化中，要注意等價性 . ，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識求出題中的問題 . ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★ )定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù) g(x)在區(qū)間［ 0，+∞ )的圖象與 f(x)的圖象重合，設(shè) a＞ b＞ 0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是 ( ) ① f(b)－ f(－ a)＞ g(a)－ g(－ b) ② f(b)－ f(－ a)＜ g(a)－ g(－ b) ③ f(a)－ f(－ b)＞ g(b)－ g(－ a) ④ f(a)－ f(－ b)＜ g(b)－ g(－ a) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 二、填空題 2.(★★★★★ )下列四個命題中：① a+b≥ 2 ab ② sin2x+x2sin4≥ 4 ③設(shè) x，y 都是正數(shù)，若yx 91?=1，則 x+y 的最小值是 12 ④若 |x－ 2|＜ ε ， |y－ 2|＜ ε ，則 |x－ y|＜ 2ε ，其中所有真命題的序號是 __________. 3.(★★★★★ )某公司租地建倉庫，每月土地占用費 y1與車庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費 y2與到車站的距離成正比，如果在距車站 10 公里處建倉庫，這兩項費用 y1和 y2分別為 2 萬元和 8 萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站 __________公里處 . 三、解答題 4.(★★★★★ )已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a， b∈ R， a＞ 0)，設(shè)方程 f(x)=x的兩實數(shù)根為 x1， x2. (1)如果 x1＜ 2＜ x2＜ 4，設(shè)函數(shù) f(x)的對稱軸為 x=x0，求證 x0＞－ 1； (2)如果 |x1|＜ 2， |x2－ x1|=2，求 b 的取值范圍 . 5.(★★★★ )某種商品原來定價每件 p 元，每月將賣出 n 件，假若定價上漲x 成 (這里 x 成即 10x ， 0＜ x≤ 10) .每月賣出數(shù)量將減少 y 成，而售貨金額變成原來的 z 倍 . (1)設(shè) y=ax，其中 a 是滿足 31 ≤ a＜ 1 的常數(shù)，用 a 來表示當售貨金額最大時的 x 的值； (2)若 y=32 x，求使售貨金額比原來有所增加的 x 的取值范圍 . 6.(★★★★★ )設(shè)函數(shù) f(x)定義在 R 上，對任意 m、 n 恒有 f(m+n)=f(m)178。 f(n)，且當 x＞ 0 時， 0＜ f(x)＜ 1. (1)求證： f(0)=1，且當 x＜ 0 時， f(x)＞ 1； (2)求證： f(x)在 R 上單調(diào)遞減； (3)設(shè)集合 A={ (x， y)|f(x2)178。 f(y2)＞ f(1)}，集合 B={(x， y)|f(ax－ g+2)=1， a∈R}，若 A∩ B=? ，求 a 的取值范圍 . 7.(★★★★★ )已知函數(shù) f(x)=12 22 ? ??x cbxx (b＜ 0)的值域是［ 1， 3］， (1)求 b、 c 的值； (2)判斷函數(shù) F(x)=lgf(x)，當 x∈［－ 1， 1］時的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)若 t∈ R，求證： lg57 ≤ F(|t－ 61 |－ |t+61 |)≤ lg513 . ［科普美文］數(shù)學(xué)中的不等式關(guān)系 數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，恩格斯在《自然辯證法》一書中指出，數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)中蘊含著極為豐富的辯證唯物主義因素，等與不等關(guān)系正是該點的生動體現(xiàn)，它們是對立統(tǒng)一的，又是相互聯(lián)系、相互影響的；等與不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系 . 等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美和統(tǒng)一美，不等關(guān)系則如同仙苑奇葩呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇異美 .不等關(guān)系起源于實數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生 了實數(shù)的大小關(guān)系，簡單不等式，不等式的基本性質(zhì)，如果把簡單不等式中的實數(shù)抽象為用各種數(shù)學(xué)符號集成的數(shù)學(xué)式，不等式發(fā)展為一個人丁興旺的大家族，由簡到繁，形式各異 .如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系，又產(chǎn)生了重要不等式、均值不等式等 .不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個極為重要的問題 .解不等式即尋求不等式成立時變量應(yīng)滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不同的解法；不等式證明則是推理性問題或探索性問題 .推理性即在特定條件下，闡述論證過程，揭示內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法 、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù) n 有關(guān)的證明問題，常采用觀察 — 歸納 — 猜想 —證明的思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明 .另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等 . 數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系 .不等式的知識滲透在數(shù)學(xué)中的各個分支，相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個工具來解決數(shù)學(xué)中的其他問題，諸如集合問題，方程 (組 )的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題無一不與不等式有著密切的 聯(lián)系 .許多問題最終歸結(jié)為不等式的求解或證明；不等式還可以解決現(xiàn)實世界中反映出來的數(shù)學(xué)問題 .不等式中常見的基本思想方法有等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 .總之，不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性 . 等與不等形影不離，存在著概念上的親緣關(guān)系，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最廣泛、最普遍的關(guān)系 .數(shù)學(xué)的基本特點是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴謹性，而不等關(guān)系是深刻而生動的體現(xiàn) .不等雖沒有等的溫柔，沒有等的和諧，沒有等的恰到好處，沒有等的天衣無縫，但它如山之挺拔，峰之雋秀，海之寬闊，天之高遠，怎能不讓人心曠神怡， 魂牽夢繞呢？ 參考答案 難點磁場 解： (1)令 F(x)=f(x)－ x，因為 x1， x2是方程 f(x)－ x=0 的根，所以 F(x)=a(x－x1)(x－ x2).當 x∈ (0， x1)時，由于 x1＜ x2，得 (x－ x1)(x－ x2)＞ 0， 又 a＞ 0，得 F(x)=a(x－ x1)(x－ x2)＞ 0，即 x＜ f(x) x1－ f(x)=x1－［ x+F(x)］ =x1－ x+a(x1－ x)(x－ x2)=(x1－ x)［ 1+a(x－ x2)］ ∵ 0＜ x＜ x1＜ x2＜ a1 ，∴ x1－ x＞ 0， 1+a(x－ x2)=1+ax－ ax2＞ 1－ ax2＞ 0 ∴ x1－ f(x)＞ 0，由此得 f(x)＜ x1. (2)依題意： x0=－ ab2 ，因為 x x2是方程 f(x)－ x=0 的兩根，即 x1， x2是方程 ax2+(b－ 1)x+c=0 的根 . ∴ x1+x2=－ ab1? ∴ x0=－ aaxaxaxxaa