23線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化-資料下載頁
2025-08-12 08:47本頁面
【導(dǎo)讀】離散時(shí)間系統(tǒng)的問題。本節(jié)將討論線性連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離。則表示原連續(xù)系統(tǒng)（）式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對(duì)上式離散化，令hTt,T)k(t???01，T為采樣周期，則得。將（）式兩邊同左乘??，則（）式可簡寫成：。證明式（）成立即可。種組合關(guān)系不變，故C、D是不變的。的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。
【正文】 ?????????????????????????????????????????12111022zzzzzzzzzzz)z(uH)(Xz 故 ? ??????????????????????????????? ?12116011802010221zzzzzz.z).z)(.z()z(uH)(Xz)GzI()z(X ???????????????????????????????????????????????????1802018020180208411802021879617643182592261722zz.zz.zzzz.zz.zz)z)(.z)(.z(z)()z)(.z)(.z(z)z(.. 從而得離散狀態(tài)方程的解為： ? ? )k().().().().()z(XZ)k(Xkkkk0187804588203017182580922206171 ???????????????????????? ? 顯然和例 ? ?162. 的結(jié)果是一致的。 3． 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件 對(duì)線性時(shí)不變離散自由運(yùn)動(dòng)方程 )k(XG)k(X ?? 1 其解為 0X)k()k(X ?? 依定義，當(dāng)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)，必有 00 ?? ???? X)k(L im)k(XL im kk ? 由于起始條件 0X 是任意的非零向量，上式即等價(jià)于 49 0??? )k(Limk ? 現(xiàn)設(shè) G 具有兩兩相異特征值 n??? , ?21 （當(dāng)有重根時(shí)也可進(jìn)行類似地推導(dǎo)，為簡單起見，這里考慮為單值的情況）。則由（ ）式，可導(dǎo)出： 011?????????????????????????????? ? jijijjnnikikkIGL i m)k(L i m????? 顯然，欲使上式成立即要求 )n,i(L i m kik ?210 ???? ? 也即 ).()n,i(i 932211 ???? 這即表明，線性時(shí)不變離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為其系數(shù)矩陣 G的特征值的模均小于 1，即分布在 Z 平面上以原點(diǎn)為中心的單位園內(nèi)。而且，如果原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即 ? ? )n,i(,R ie ?210 ???則其離散化系統(tǒng)，由于 ? ? )n,i(,ee TRTi iei ?211 ???? ??? 也將一定是穩(wěn)定的。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論是和經(jīng)典控制理論中所指出的“時(shí)不變線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為其脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)的模均小于 1”的條件相等價(jià)的。 二、 線性時(shí)變離散狀態(tài)方程的解 現(xiàn)簡單地研究一下時(shí)變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ).(X)hT(X )kT(u)kT(H)kT(X)kT(GT)k(X 9421 0??? ? ???那么它的解是 ? ? ).()jT(u)jT(HT)j(,kT)hT(X)hT,kT()kT(X khj95211?????? ?? 50 證明 ：只需證明（ ）式滿足原方程和起始條件（ ）式即可，為此，有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?T)j(uT)j(H)hT,jT(hT,T)k(XhT,T)k()jT(u)jT(HT)j(,T)k(XhT,T)k(T)k(Xkhjkhj1111111111100?????????????????????????而 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?)hT,kT()kT(G)hT(GT)h(GT)k(G)kT(GhT,T)k()hT(GT)h(GT)k(GT)k(G)hT,kT(????????????????111121?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?)kT(u)kT(H)kT(X)kT(G)kT(u)kT(H)jT(u)jT(HT)j(,kT(X)hT,kT()kT(G)kT(u)kT(HT)j(uT)j(H)hT,jT()hT,kT(X)hT,kT()kT(G)kT(u)kT(HhT,T)k(hT,T)k(T)j(uT)j(H)hT,jT()hT,kT()kT(GX)hT,kT()kT(GT)k(Xkhjkhjkhj????????????????????????????????????????????????????????10110111011111111?????????? 所以（ ）式滿足原方程（ ）。再有令 k=h代入（ ）式： ? ?0010 1XX)hT,hT()jT(u)jT(HT)j(,hTX)hT,hT()hT(Xhhj?????? ?????? 表明式（ ）也滿足起始條件。由此結(jié)論得證。
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