23線性連續(xù)時間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化-文庫吧資料
2024-08-29 08:47本頁面
【正文】 )()()()0()()( 1111 zuHGzIZXzGzIZk ???? ???? 式（ 2. 86）和式（ ）形式雖不不同，但實際上是完全一致的。為此，將原狀態(tài)方程變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，即將 G 變換為對角型。 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移 )k(? ，離散時間狀態(tài)方程的解（ ）可寫成 ??? ????10 10kj )j(uH)jk()(X)k()k(X ?? 或 ).()jk(uH)j()(X)k()k(X kj83210 10??????? ?? 而（ ）式可寫成： 44 ??? ?????1 1khj )j(uH)jk()h(X)hk()k(X ?? 或 ).()jk(uH)j()h(X)hk()k(X khj84211???????? ?? 例 )k(uh)k(XG)k(X ??? 1 其中 ????????????? ??? 111160 10 h,.G 試求當(dāng)初始狀態(tài) ???????? 110 )(X 和控制作用為 1?)k(u 時，此系統(tǒng)的)k(? 和 )k(X 。第一部分是由初始狀態(tài) )(X0 轉(zhuǎn)移而來，第二部分是由控制作用所激勵的狀態(tài)轉(zhuǎn)移產(chǎn)生的，而且其中hkk GG ?或 相當(dāng)于連續(xù) 時間系統(tǒng)中的 Ate)t( ?? 或 )()( 00 ttAett ???? ，類似地，這里也定義： )a.(G)k( k 782?? 或 )b.(G)hk( hk 782???? 稱為離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，很明顯它滿足： ).(I)( )k(G)k( 7920 1??? ? ??? ?? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì)： （ 1） ).()hhk(),hh()hk()hk( 802111 ?????? ??? （ 2） ).()k()k( 8121 ??? ?? （ 3）如果 G為對角線矩陣，且 )g,g,g(d ia gG n?21? 則 )k(? 也必為對角線矩陣，即為 )g,g,g(d ia g)k( knkk ?21?? （ 4 ）設(shè)連續(xù)系統(tǒng)系數(shù)矩陣為 A 具有兩兩相異的特征值n, ???? ?321 ， ATeG? ， T 為采樣周期，記 Ti ie?? ? ，則 ).(IG)k(jijijnjniki 82211 ???????????????? ????? 這可由 Sylveter 展開定理來證明，此略。顯然，這種解法便于在數(shù)字計算機上進(jìn)行運算。 離散狀態(tài)方程的解 一、 線性時不變離散狀態(tài)方程的解 現(xiàn)討論離散狀態(tài)方程的解，首先研究時不變系統(tǒng)的情況，設(shè)時不變系統(tǒng)狀態(tài)方程為： ).()(X)k(X)k(uH)k(XG)k(Xk 752010???????? 對于時不變系統(tǒng)的求解，主要有兩類方法，一類是用矩陣差分方程的迭代法，另一類是用 Z 變換法。 解 ： ????????????????????????????????????????TTTB)T(HTTTITA)T(G010210110012010 將例 []、例 []兩種計算方法在不同采樣周期 T 時的計算結(jié)果列表如表 ，可知 050.?T 時，兩者更為接近。 例 求連續(xù)系統(tǒng) )t(u)t(X)t(X ????????????? ?? 1020 10? 的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。 證明 ：由上節(jié)（ ）式可知（ ）式的解為： ).(d)(u)(B),t(X)t,t()t(X tt 642000 ?????? ??? 對上式離散化，令 hTt,T)k(t ??? 01 ， T 為采樣周期，則得 ? ? ? ? ? ?).(d)(u)(B,T)k(XhT,T)k(T)k(X T)k(hT652111 10 ?????? ????? ? ? 再以 hTt,kTt ?? 0 代入（ ）式，則得 ).(d)(u)(B),kT(X)hT,kT()kT(X kThT 6620 ?????? ??? 將（ ）式兩邊同左乘 ? ?kT,T)k( 1?? ，得 38 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ).(d)(u)(B,T)k(XhT,T)k(d)(u)(B),kT(kT,T)k(X)hT,kT(kT,T)k()kT(XkT,T)k(kThTkThT6721111100??????????????????????????? 將（ ）式減去（ ）式得： ? ? ? ? ? ?).(d)(u)(B,T)k()kT(XkT,T)k(T)k(X T)k(kT682111 1 ?????? ????? ? ? 上式中，令 ? ?? ??????d)(B,T)k()kT(HkT,T)k()kT(GT)k(kT? ????? 111 設(shè) 在區(qū)間 ? ?T)k(,kT 1? 內(nèi)， )kT(u)(u ?? ，則（ ）式可簡寫成： ? ? )kT(u)kT(H)kT(X)kT(GT)k(X ????? 1 同時，對（ ）式輸出方程離散化，則證明了 )kT(u)kT(D)kT(X)kT(C)kT(Y ??? 二、 線性時不變系統(tǒng)的離散化 對于線性時不變系統(tǒng) ).(uDXCY uBXAX 692????? ??? 離散化狀態(tài)空間表達(dá)式為 ).()kT(uD)kT(XC)kT(Y )kT(u)T(H)kT(X)T(GT)k(X 7021??? ?? ??? 其中 D,C),T(H),T(G 均為常數(shù)陣，且 ).(B)de()T(He)T(GATAT7120???????? ?? 證明 ：由于時不變系統(tǒng)是時變系統(tǒng)的一種特殊情況，所以只需要證明式（ ）成立即可。本節(jié)將討論線性連續(xù)時間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化方法。
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