本科生--求極限的方法-資料下載頁
2025-05-12 00:29本頁面
【導(dǎo)讀】摘要求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運算。求極限的主要方法有用定。義,四則運算,兩邊夾法則,函數(shù)連續(xù)性等。除這些常規(guī)方法外,還有許多技巧,這?，F(xiàn)實意義,而且便于解決極限相關(guān)問題。在這里簡單綜述了一些常用的求極限的。方法，目的在于大家更好地學(xué)習(xí)極限，并為以后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。引言極限是研究變量變化趨勢的基本工具，《數(shù)學(xué)分析》中許多基本概念，極限、微分中值定理、積分中值定理、夾逼準(zhǔn)則等等。該注意一些細節(jié)問題。定義，求解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在求解過程中往往采用放大、縮小等技巧。直接代入，如果代入后分母為零，就化簡，比如分解因式，然后代入其中。限形式中含有三角函數(shù)時，這時我們一般可通過三角公式恒等變換和等價變換，在運用重要極限1lim1x. 限式中的相加或相減的部分則不能隨便替換。值直接代替，進行化簡。//型的，用洛必達法則，還有一些待定型函數(shù)的極限，求極限必須是在極限存在的前提下進行的，
【正文】 x??存在 ,并求之 . 證明 2132xx??,若 1kkxx?? ,則 ? ? ? ?111 01 1 1 1k k k kkk k k k kx x x xxx x x x x??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? , 所以 ??nx 單調(diào)增加 ,且 110 1 21knkxx x??? ? ? ??,于是由定理可知 :limnx x??存在 ,設(shè)lim nx xa?? ? ,兩邊求極限 ,有 : 1 1aa a??? ,即 : 2 10aa? ? ? ,所以 ,a = 132? ,即limnx x?? ? 132? . 16 柯西準(zhǔn)則 設(shè)函數(shù) f 在 ),( 00 ‘?xU 內(nèi)有定義 , ? ?0limxxfx?存在的充要條件是 :任給 0?? ,存在正數(shù) ? ?39。??? ,使得對任何 39。x , ),( 0039。39。 ?xUx ? 有 ： ? ? ? ?39。 39。39。f x f x ???.[10] 從定義出發(fā)，一般用于反正法，函數(shù)列中用的多，主要找準(zhǔn) 39。39。39。,xx ，然后作出 )()( 39。39。39。 xfxf ? 的差 . 例 16 求極限 limsinx x??? . 解 取0 12??? 0 , 對任給 0M? , 記 ? ? 1n M M? ? ? , 存在1 12x n M???? ? ? ? ?????, 2x n M?? ? ? ? ,使得 1 2 01s in s in 1 2xx ?? ? ? ? , 則由柯西準(zhǔn)則可知 : limsinx x???不存在 . 17 海涅定理（歸結(jié)原理） 設(shè)函數(shù) f 在 ),( 00 ‘?xU 內(nèi)有定義 , ? ?0limxxfx?存在的充要條件是 :對任何含于),( 00 ‘?xU 且以 0x 為極限的數(shù)列 ??nx ,極限 ? ?lim nx fx?? 都存在且相等 .[1]此定理的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理 ,通常利用此定理的逆否命題來判斷極限不存在 . 例 17 求極限01limsinx x? . 解 設(shè) 39。 1nx n??, ? ?39。39。 1 1, 2 ,2 2nxnn ?????,顯然有 39。 0nx? , ? ?39。39。 0nxn? ? ?, 則39。1sin 0 0nx ??,39。39。1sin 1 1nx ??? ?n??,所以 ,39。 39。39。11lim s in lim s inxxnnxx? ? ? ?? ， 則由歸結(jié)原理可得 :該極限不存在 . 結(jié) 束 語 以上所求函數(shù)極限的方法各有條件、各具特色 ,因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同 ,我們必須根據(jù)其條件來判斷極限的類型 ,進而根據(jù)類型來 找到解決問題的方法 。 當(dāng)然 ,有些題目有可能可以用多 種方法來解決 ,此時 ,我們不可以死搬硬套 ,要從繁瑣中找復(fù)雜 ,在復(fù)雜中找簡單 ,而關(guān)于如何做到這一點 ,就必須在做題中不斷總結(jié)、摸索、領(lǐng)悟各種方法的精髓 ,才能熟練而有靈活的掌握與運用各種求極限的方法 。 參考資料 [1] 華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].第三版 .高等教育出版社 .. [2] 歐陽光中 .數(shù)學(xué)分析 [M].復(fù)旦大學(xué)出版社 .. [3] 方明 .如何利用連續(xù)性求極限 [J].貴州商專學(xué)報， ,第 2期： 45~46. [4] 馮志敏 .使用洛必達法則的實質(zhì)及其 注意事項 [J].中國科技信息， ，第 15期： 44~46. [5] 范欽杰 .關(guān)于極限求法的進一步探討 [J].松遼學(xué)刊， ， 第三期： 28~31. [6] 李懷林 .一種用泰勒公式代換求極限的方法 [J].渭南師專學(xué)報， 1995， 第 21期： 6~8. [7] 張筑生 .數(shù)學(xué)分析新講 [M].北京大學(xué)出版社 .. [8] 夏濱 .探析夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用 [J].讀與寫雜志， ，第 11期： 7 125. [9] 毛鋼源 . 高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納 [M].華中科技大學(xué)出版社 .. [10] 陳紀(jì)修 .數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南 [M].高等教育出版社 .. 致 謝 感謝我的大學(xué)，給了我學(xué)習(xí)和成才的機會， “ 嚴以治學(xué)、誠以立身 ” 的校訓(xùn)讓我明白 了 治學(xué)和立身的相互作用 ； 感謝所有授我以業(yè)的老師， 你們不僅教給我書本知識，也教了我如何處世，如何做人。 沒有這 三年半 知識的積淀，我沒有這么大的動力和信心完成這篇論文。本文從資料查閱和搜集、 論文 擬寫到最后完稿，經(jīng)歷了近 三個多月 的時間。值此論文完成之際，謹向 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 全體老師表示衷心的感謝并致以崇高的敬意，他們在我本科 學(xué)習(xí)期間，不僅傳授我更多的專業(yè)知識，而且在 生活 方面也給予了很多 幫助 。 尤其要感謝我的論文指導(dǎo)老師 —— 蔡運坊 老師，在此論文的寫作過程中， 蔡 老師從選題指導(dǎo)、論文框架到細節(jié)修改，都給予了細致的指導(dǎo)，提出了很多寶貴的意見與建議，在此，對 蔡 老師的細致指導(dǎo)表示深深的感謝。 感謝所有與我共享陽光和快樂的同學(xué)，有你們的陪伴和支持，我的大學(xué)充實而精彩 。 感謝給予我平靜與溫暖的家人，有你們的關(guān)懷，我的生活安穩(wěn)而踏實。 感恩之余，誠懇地請各位老師對我的論文多加批評指正，使我及時完善論文的不足之處。 謹以此致謝。
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