本科生--求極限的方法-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 xxx oxxexx??????? ? ? ? . 在運(yùn)用泰勒公式時(shí)，將分母中各函數(shù)在 0xx? 點(diǎn)按泰勒公式展開(kāi)到第 n 項(xiàng)， n為使新分母不為 0 的最小項(xiàng)數(shù)，再化簡(jiǎn)得到新的分母，同時(shí)分子也如此展開(kāi)到與分母具有同次冪的項(xiàng)止，化簡(jiǎn)得到新分子， 然后再求極限 .[6] 11 利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求極限 冪級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸 ， 因此可以利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分及將利用初等函數(shù)的冪級(jí) 數(shù)展開(kāi)式將復(fù)雜的多項(xiàng)式簡(jiǎn)單化 ,進(jìn)而方便求其極限 . 例 11 求 2 1lim ln 1x xx x????????????????. 解 由題可得 22 2 3 41 1 1 1 1l im l n 1 l im 23xxx x x x ox x x x x? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 21 1 1 1lim 2 3 2x oxx?? ????? ? ? ?????????. 12 利 用 拉格朗日 中值定理 求極限 若函數(shù) )(xf 滿足： )(i 在 ],[ ba 連續(xù) ， )(ii 在 ),( ba 可導(dǎo)；則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使： ab afbff ??? )()()(39。 求極限必須是在極限存在的前提下進(jìn)行的，根據(jù)不同的形式可以選擇不同的計(jì)算方法，合理利用各種計(jì)算方法，亦可進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，使得求極限的方法更明了，算法更加簡(jiǎn)單。 當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí) ，這時(shí)我們 一般可通過(guò)三角公式恒等變換和等價(jià)變換，然后利用 重要極限0sinlim 1xxx? ?來(lái)求解。 在這里簡(jiǎn)單綜述 了一些常用的求 極限的方法 ，目的在于大家更好地學(xué)習(xí) 極限， 并為以后 的學(xué)習(xí)打下 堅(jiān)實(shí)的 基礎(chǔ)。 關(guān)鍵 詞 極限 洛 必達(dá)法則 重要極限 等價(jià)無(wú)窮小 The limit of the method Abstract For the sequence and function limit is the basic operation mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only have the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some monly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation. Key word Limit L39。在運(yùn)用重要極限 1lim 1 xx ex??????????求極限時(shí)，可通過(guò)配系數(shù)法、變量替換來(lái)轉(zhuǎn)換成 ?1 型極限。 1 利用 ??? 或 ? N 定義 設(shè) f 為定義在 [a ,+? ）上的函數(shù)， A 為定數(shù) .若對(duì)人給的 ? ? 0，存在正數(shù)M )( a? ，使得當(dāng) x M 時(shí)有： Axf ?)( ? ? ，則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 +? 時(shí) ， 以 A 為極限，記作： )x()()(l i m ???????? AxfAxfx 或 .[1] 例 1 求證 7)(lim 22)1,2(),( ???? yxyxyx. 證明 ? 722 ??? yxyx = )1(2)4( 22 ????? yxyx = )1)(1()1(2)2()2)(2( ????????? yyyyxxx ? 2?x 2??yx + 31 ?? yy ， 先限制在點(diǎn)（ 2， 1）的 ? =1 的方域：｛（ x,y） | 2?x ? 1， 1?y ? 1｝內(nèi)討論，于是有 413 ???? yy ? 1?y +45 2??yx = 5)1()2( ???? yx ? 2?x + 1?y +57, 227x xy y? ? ?? 7 2?x +5 1?y 7（ 2?x + 1?y ） . 設(shè) ? 為任給的正數(shù)，取 ? =min｛ 1， 14? ｝，則當(dāng) 2?x ? ? ， 1?y ? ，（ x,y） ? （ 2，1）時(shí)， 就 有 ： 722 ??? yxyx ? 72? ? =14? ? ? . 用極限的定義時(shí)，只需要證明存在 N （或 ? ），故求 解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在求解過(guò)程中往往采用放大、縮小等技巧 .但是不能把含有 N （或 ? ）的因子移到不等式的另一邊再放大，而是應(yīng)該直接對(duì)要證其極限的式子一步一步放大 ，有時(shí)還需要加入一些限制條 件 .限
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