本科生--求極限的方法(存儲(chǔ)版)
【正文】 的啟示是每種方法之間都有一定的聯(lián)系。f (x)存在且有限，則稱 f 在點(diǎn) x 可導(dǎo) .[2] 例 2 求 xctgxx 2)2(lim2 ?????. 解 取 )(xf = xtg2 .則 22211l i m ( ) 222 l i m 2 ( 2 )2l i m22xxxx c t g x t g xt g x t gxx??????????? ? ? ????? =2239。39。39。 0nxn? ? ?, 則39。 參考資料 [1] 華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].第三版 .高等教育出版社 .. [2] 歐陽光中 .數(shù)學(xué)分析 [M].復(fù)旦大學(xué)出版社 .. [3] 方明 .如何利用連續(xù)性求極限 [J].貴州商專學(xué)報(bào)， ,第 2期： 45~46. [4] 馮志敏 .使用洛必達(dá)法則的實(shí)質(zhì)及其 注意事項(xiàng) [J].中國科技信息， ，第 15期： 44~46. [5] 范欽杰 .關(guān)于極限求法的進(jìn)一步探討 [J].松遼學(xué)刊， ， 第三期： 28~31. [6] 李懷林 .一種用泰勒公式代換求極限的方法 [J].渭南師專學(xué)報(bào)， 1995， 第 21期： 6~8. [7] 張筑生 .數(shù)學(xué)分析新講 [M].北京大學(xué)出版社 .. [8] 夏濱 .探析夾逼準(zhǔn)則在求極限中的應(yīng)用 [J].讀與寫雜志， ，第 11期： 7 125. [9] 毛鋼源 . 高等數(shù)學(xué)解題方法技巧歸納 [M].華中科技大學(xué)出版社 .. [10] 陳紀(jì)修 .數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南 [M].高等教育出版社 .. 致 謝 感謝我的大學(xué)，給了我學(xué)習(xí)和成才的機(jī)會(huì)， “ 嚴(yán)以治學(xué)、誠以立身 ” 的校訓(xùn)讓我明白 了 治學(xué)和立身的相互作用 ； 感謝所有授我以業(yè)的老師， 你們不僅教給我書本知識(shí)，也教了我如何處世，如何做人。 謹(jǐn)以此致謝。 尤其要感謝我的論文指導(dǎo)老師 —— 蔡運(yùn)坊 老師，在此論文的寫作過程中， 蔡 老師從選題指導(dǎo)、論文框架到細(xì)節(jié)修改，都給予了細(xì)致的指導(dǎo)，提出了很多寶貴的意見與建議，在此，對 蔡 老師的細(xì)致指導(dǎo)表示深深的感謝。 39。39。f x f x ???.[10] 從定義出發(fā)，一般用于反正法，函數(shù)列中用的多，主要找準(zhǔn) 39。 21 c o s s in c o s 1l im l im l im l imta n 2 ta n s e c 2 2x x x xfxx x xx g x x x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??， 當(dāng)用洛必達(dá)求解極限不存在時(shí) ,不能說明原函數(shù)極限不存在 . 例 8(2) 求極限 sinlimxxxx???? . 解 sinlimxxxx???? = sinlim 1 1xxx???????????, 但 用洛必達(dá)法則時(shí) : s in 1 c o slim lim 1xxx x xx? ?? ? ?????,極限不存在 . 9 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件： 若級(jí)數(shù) ???1n nu收斂 lim 0nn u?? ?,利用該條件 ,可以求極限 ,而且利用此條件可以判斷級(jí)數(shù)的斂散性 .對于級(jí)數(shù)收斂性有這樣的一個(gè) 推廣 定理：設(shè)數(shù)列 { nx }，對 n=1,2?, ,及某一自然數(shù) p，滿足： pnnn xcxcy ??? 21 ， 21 cc ? ， 則： Aynn ???lim 的必要充分條件是 21lim ccAxnn ????.[5] 例 9 設(shè) 數(shù)列一般項(xiàng)為 ： nx =qa+2qqa????nq qna )1( ?? ，其中 1?q ，證明{ nx }收斂，并求其極限 . 解 ? ??1nqx ?aqqa?+22q qa??? +1 )1( ??? nq qna+nqnqa?nx =qa? ???2q qanq qna )1( ??, ?? ?1nqx nx = ??1a q1 + ??21q + 11?nq = ?aqqn1111??, 令 ?ny ??1nqx nx ，則 ??? nn ylim?aq111?= ?a1?qq, 故由定理知： { nx }收斂，且2)1(lim ? ????? q aqaqxnn. 10 利用 泰勒公 式求極限 在處理某些特殊函數(shù)（高階函數(shù)或幾種不同類型的初等函數(shù)的混用）的極限時(shí) ,用其他方法會(huì)受到一定的限制或是計(jì)算過于繁瑣 ,則可考慮用泰勒 公展式（或麥克勞林公 式）來求極限， 但在運(yùn)算過程中 ,必須注意高階無窮小的 運(yùn)算及處理 . 例 10 求極限 2240coslim xxxex ??? 解 因?yàn)榉帜甘?x 的階無窮小，所以只需將分子中各函數(shù)展開到含 4x 項(xiàng)即可， ? ?24 5c o s 1 2 2 4xxx o x? ? ? ? , ? ?2 24 52 1 28x xxe o x? ? ? ? ? , 因此 22cos xxe?? = ? ?4 512x ox?? , ? ?2 4 524400c os 112l i m l i m12x
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