本科生--求極限的方法(已修改)
2025-06-01 00:29 本頁面
【正文】 本科生學(xué)年論文 題目 求極限的方法 求極限的方法 摘要 求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運算。求極限的主要方法有用定義 ,四則運算 ,兩邊夾法則 ,函數(shù)連續(xù)性等。除這些常規(guī)方法外 ,還有許多技巧 ,這些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中 ,對這些技巧進(jìn)行探討歸納 ,不僅有教材建設(shè)的現(xiàn)實意義 ,而且便于解決極限相關(guān)問題。 在這里簡單綜述 了一些常用的求 極限的方法 ，目的在于大家更好地學(xué)習(xí) 極限， 并為以后 的學(xué)習(xí)打下 堅實的 基礎(chǔ)。 關(guān)鍵 詞 極限 洛 必達(dá)法則 重要極限 等價無窮小 The limit of the method Abstract For the sequence and function limit is the basic operation mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only have the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some monly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation. Key word Limit L39。Hospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal 引言 極 限是研究變量變化趨勢的基本工具，《數(shù)學(xué)分析》中許多基本概念，如連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，定積分，無窮級數(shù)都是建立在極限的基礎(chǔ)上，極限方法又是研究函數(shù)的一種最基 本的方法，因此學(xué)好極限在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義。 本文介紹了 一些求 極限的 方 法 有 ： 利用 ??? 或 n?? 定義求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限、四則運算、兩個重要極限、等價無窮小量代替求極限、 洛必達(dá)法則 、泰勒展式求極限、 微分中值定理、積分中值定理、 夾逼準(zhǔn)則等等。那么在 運用 這些方法時應(yīng)該注意一些 細(xì)節(jié)問題 。 在 利用 ??? 或 n?? 定義，求解的關(guān)鍵在于不等式的建立，在求解過程中往往采用放大、縮小等技巧 。運用 連續(xù) 性求極限時 ，在定義域范圍內(nèi)求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續(xù)函數(shù)的極限值就等于在該點的函數(shù)值 。 運用極限四則運算時，要注意 分子分母有理化 ，當(dāng)然對于 簡單的一類，直接 代 入 ， 如果 代 入后分母為零，就化簡，比如分解因式，然后 代 入其中 。 當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時 ，這時我們 一般可通過三角公式恒等變換和等價變換，然后利用 重要極限0sinlim 1xxx? ?來求解。在運用重要極限 1lim 1 xx ex??????????求極限時，可通過配系數(shù)法、變量替換來轉(zhuǎn)換成 ?1 型極限。在利用等價無窮小量求極限，那就要求要先熟記幾個替換了，如： tan ( 0)x x x??， sin ( 0)x x x??，也要注意到只有對所求函數(shù)式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替換 ,而對于極限式中的相加或相減的部分則不能隨 便替換。 而在運用 夾逼準(zhǔn)則 時 ， 關(guān)鍵在于構(gòu)建兩個函數(shù) )()( xgxf 和 。 在 求 極限的過程中，會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運用多種方法解答，因此給我們的啟示是每種方法之間都有一定的聯(lián)系。那我們在解題時， 最常用的方法是洛必達(dá)法則，等價無窮小代換，兩個重要極限公式在做題時，如果是分子或分母的一個因子部分，如果在某一過程中，可以得出一個不為 0的常數(shù)值時，我們常用數(shù)值直接代替，進(jìn)行化簡。 也可以用等價無窮小代換進(jìn)行化簡，化簡之后再考慮用洛必達(dá)法則。對 0/0 和 ??/ /型 的，用洛必達(dá)法則，還有一些待定型函數(shù)的極限，先化為 0/0 或 ??/ 的再用此法則 。 求極限必須是在極限存在的前提下進(jìn)行的，根據(jù)不同的形式可以選擇不同的計算方法，合理利用各種計算方法，亦可進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，使得求極限的方法更明了，算法更加簡單。 1 利用 ??? 或 ? N 定義 設(shè) f 為定義在 [a ,+? ）上的函數(shù)， A 為定數(shù) .若對人給的 ? ? 0，存在正數(shù)M )( a? ，使得當(dāng) x M 時有： Axf ?)( ? ? ，則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 +? 時 ， 以 A 為極限，記作： )x()()(l i m ???????? AxfAxfx 或 .[1] 例 1 求證 7)(lim 22)1,2(),( ???? yxyxyx. 證明 ? 722 ??? yxyx = )1(
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