【正文】 時， 0842 23 ???? xxx ， 043 23 ??? xx 故無法直接用四則運算，應先化簡原函數 原式 =43 842lim 23 232 ?? ???? xx xxxx=)4()2( )2(4)2(lim 22322 ??????? xxxxxxx = ???? ???? )1)(2)(2( )2)(2)(2(lim2 xxx xxxx 34)1( )2(lim2 ???? xxx， 對要求的函數進行適當變形和化簡 ,常用的變形或化簡有：分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數的恒等變形、某些求和或求積公式以及適當的變量替換 . 6 利用兩個重要極限求函數的極限 靈活運用 兩個重要的極限 : 0sinlim 1xxx? ? 1lim 1 xx ex?????????? ， 對所求的函數進行適當變形 ,將其變?yōu)榕c兩個重要極限的形式相同 ,再 求解 . 例 6（ 1） 求 xx xn sincos1lim ????. 解 xx xn sincos1lim0 ???= xx xn sin2sin2lim 20 ??= 2)22sin(limxxon? ??? 21sinxx 2111 ?? =21 . 當極限形式中含有三角函數時 ， 一般可通過三角公式恒等變換，然后利用重要極限0sinlim 1xxx? ?來求解 . 例 6（ 2） 求??xlim bxnnxaxaxaxa )1( 33221 ????? ?， Nn? . 解 當 0?b 時，??xlim 033221 )1( nnxaxaxaxa ????? ?=1, 當 0?b 時，此極限為 ?1 型，且 ??xlim bxxaxaxaxa nn )1( 33221 ????? ?=b??xlim )( 123211 ????? n nxaxaxaxa ?= ba1 , limx??? bxnnxaxaxaxa )1( 33221 ????? ?= bae1 ， Nn? . 對于這類求極限的題目，可以通過配系數法、變量替換，來轉換成 ?1 型極限 ， 函數中含有冪指函數時 ， 往往出現(xiàn)這種情形 ， 這時可通過變換化成 xx)11( ?或xx1)1( ? 的形式，再利用重要極限求解 . 7 利用等價無窮小量代替求極限 例 7 求30 tan sinlim sinx xxx? ?. 解 由于 sinta n sin (1 c o s )c o s xx x xx? ? ? , 0?x? 時 ， xx~sin , 2~cos1 2xx? ， 33 ~sin xx , 故有 30 tan sinlim sinx xxx? ?=230112limco s 2xxxxx????. 在利用等價無窮小量求極限時應注意 ， 只有對所求函數式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替換 ,而對于極限式中的相加或相減的部分則不能隨便替換 . 如在上題中 , 若用 tan ( 0)x x x??, sin ( 0)x x x??, 而推出 30 tan sinlim sinx xxx? ?=30lim 0sinx xxx? ? ?,則得到的是錯誤的結果 . 8 利用洛必達法則求極限 洛 必達法則是以導數為工具研究不定式極限 ,只能對 00 型 和 ?? 型的不定式極限 直接使用 , 其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應用洛必達法則 .利用這種方法求解既簡單又有效 ,但并不是任何比式極限都可以按洛必達法則來求解 ,需注意其條件極其繁瑣程度 . 對無窮?。ù螅┻M行降價處理，使得過未定式一步步的轉化，最終分子或是分母中至少有一個不再是無窮?。ù螅?，這時就可以直接用極限的四則運算法則求 出結果 .[4] 例 8(1) 求 21 coslim tanx xx?? ?. 解 令 ? ? 1 cosf x x?? , ? ? 2tang x x? ,易知 ??fx、 ??gx在點 0x ?? 的領域內滿足 ? ? ? ?00lim lim 0xxf x g x????,且在 0x 的空心鄰域 )( 00 xU 內兩者都可導 ,則 ? ?? ?39。 39。 xfxf ? 的差 . 例 16 求極限 limsinx x??? . 解 取0 12??? 0 , 對任給 0M? , 記 ? ? 1n M M? ? ? , 存在1 12x n M???? ? ? ? ?????, 2x n M?? ? ? ? ,使得 1 2 01s in s in 1 2xx ?? ? ? ? , 則由柯西準則可知 : limsinx x???不存在 . 17 海涅定理（歸結原理） 設函數 f 在 ),( 00 ‘?xU 內有定義 , ? ?0limxxfx?存在的充要條件是 :對任何含于),( 00 ‘?xU 且以 0x 為極限的數列 ??nx ,極限 ? ?lim nx fx?? 都存在且相等 .[1]此定理的意義在于把函數極限歸結為數列極限問題來處理 ,通常利用此定理的逆否命題來判斷極限不存在 . 例 17 求極限01limsinx x? . 解 設 39。39。本文從資料查閱和搜集、 論文 擬寫到最后完稿，經歷了近 三個多月