【導(dǎo)讀】©WorldScienti?cPublishingCompany. SHUO-JYEWU?andHSIU-MEILEE. setbythe. thanthe?

　　

【正文】 假設(shè) 讓我們考慮一下用 逐次定數(shù) 截尾 方法 實施 以下 簡單步進(jìn)應(yīng)力 加速壽命試驗 方案：假設(shè)隨機選擇的單位 n在應(yīng)力設(shè)定 1v 下同時放到壽命試驗上；那些失效次數(shù)無法在時間區(qū)間 [0, ]? 內(nèi)觀察 和 當(dāng)發(fā)生失效時 一些存活單位 已經(jīng)被移除 ；從時間 ? 開始，那些沒被刪除的存活單位被放到一個不同的應(yīng)力設(shè)定 2v 12()vv? 上；那些失效次數(shù) 被 觀察和 當(dāng)失效發(fā)生時 一些存活單位 被移除 ；在第 m次失效時，壽命試驗將被停止。 在 任何應(yīng)力 下 ， 那些測試單位的失效壽命 分布 都 是一個指數(shù)分布。在應(yīng)力水平 iv 下，平均壽命測試 裝置 是一種 應(yīng)力 的 對數(shù)線性函數(shù)。那是， ? ? 01log iiv? ? ???， 1,? (1) 這里的 0? 和 1? 是未知參 數(shù)。這個線性函數(shù)是一種常見的選擇應(yīng)力壽命關(guān)系，因為作為特殊情況它既包括冪規(guī)律和 Arrhenius關(guān)系。此外，按照累積 失效 模型 已經(jīng) 發(fā)生失效。換言之 ，其 裝置 剩余 的 壽命的 只取決于 已發(fā)生的失效 ， 并裝置 不記得如何 累積失效 。 (見Miller and Nelson9) 從先前的假設(shè)， 測試 裝置 的 累積分布函數(shù) 在簡單步進(jìn)應(yīng)力壽命測試 是 : ? ? ? ?? ?12, 0 x ,F x fo rfx F s x fo r x ??? ????? ? ? ? ? ? ??? 這里 ? ? 1 e x p , 1 , 2 ,i ixF x i???? ? ? ?????和 21S???? 是 ? ? ? ?21F s F ?? 的 解 。 因此 ， 最合適 測試 裝置 的概率密度函數(shù) 是 3 121121 , 0 ,()1 e , .xxe for xfxfor x??????????????????? ?? ? ? ??? (2) 3. 極大似然估計 設(shè) 1X? …111nnXX?? ? ?… mX? 是用截尾方案 ? ?1,mrr從一個簡單步進(jìn)應(yīng)力 ALT中得到的 逐次定數(shù) 截尾樣本。也就是說，當(dāng)測試在應(yīng)力 iv 1,2i? ，觀察到測試裝置的失效時間 in ，并且 12m nn??是失效的總數(shù)。因此，似然函數(shù) 被 如下給出： ? ? ? ? ? ?1112 111 2 11 1 1e xp 1 1inn i i imn iiL c r x n r?? ? ? ?? ??? ?? ???? ? ? ? ? ? ?? ?? ????? ??? ?? ? ?? ?1 121 1m iiinr x r???????? ? ? ????????， 這里 ? ?11c n n r? ? ? … ? 11n m r? ? ? ?… ?1mr?? 和 10 nm??。根據(jù) (1)， 對于未知參數(shù) 0? 和1? 的 對數(shù)似然函數(shù)可以被寫成，對于 10 nm??時 ， ? ? ? ? ? ?0 1 1 0 1 1 2 0 1 2l og ,L n v n v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 1 0 1 212vvU e U e? ? ? ?? ? ? ???， (3) 其中 ? ? ? ?111 11nni i iiiU r x n r ?????? ? ? ? ???????， 和 ? ?? ?12 1 1miiinU r x ???? ? ??。 設(shè) ? ?010 lo g , 0L ???? ??和 ? ?011 lo g , 0L ???? ??。然后我們會發(fā)現(xiàn) 0? 和 1? 的 極大似然估計量 （ MLEs）分別是 ^ 210 1 22 1 2 11 l o g l o gnnvvv v U U???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???， (4) 和 ^ 120 2 1 2 11 lo g nUv v n U? ??? ??? ??。 (5) 在輕微規(guī)律條件下，任何 幾個最大似然大樣本程序 都 可能會被用來推斷 0? 和 1? 。一個最大的可能 就 是采用逐步正態(tài)近似獲得 0? 和 1? 的置信區(qū)間?，F(xiàn)在我們得出了 Fisher信息矩陣。從公式（ 3），有 ? ?2 120200 1 2l o g , UUL ??? ? ???? ? ? ???? ??， (6) 4 ? ?2 1 1 2 2020 1 1 2l o g , U v U vL ??? ? ? ???? ? ? ????? ??， (7) 和 ? ? 222 1 1 2 20201 1 2l o g , U v U vL ??? ? ???? ? ? ???? ??。 (8) 為了獲得 Fisher信息量，我們需要 (6)(7)(8)的期望。為了得到這些， 讓我們首先考慮以下的信息量。如果一個隨機變量 X 在 (2)中有概率密度函數(shù)，那么 Xiong12表示這種隨機變量 121, 0 ,( 9),X f or XY Xf or X???? ???? ????? ? ?? ? ? ? ??? 是平均為 1的指數(shù)分布。通過 (9)把所有的 iX 轉(zhuǎn)換成 iY 。然后 1Y? …111nnYY?? ? ?… mY? 是從標(biāo)準(zhǔn) 指數(shù)分布中得到的 逐次定數(shù) 截尾樣本。從 Balakrishman和 Aggarwala（參考文獻(xiàn) 2，第 19頁）中，我們可以得到 iY 的期望是 ? ? ? ?1101 , 1 , , ,1iiijj kkE E Y i mn r j?? ?? ? ?? ? ? ?? 這里 0 0r? 。因此， Fisher信息量是 11 1221 22,III II??????? 其中 ? ?11 1 1,m iiiI r E???? ? ? ? ? ? ?111 2 2 1 1 2 2 11111n mi i i ii i nI I v r E v r E v v? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?0 1 11 11,m viin re ??? ??????? 和 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 1112 2 2 22 2 1 2 2 11 1 11 1 1n mm vi i i i ii i n i nI v r E v r E v v r e ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?。 Fisher信息量能夠轉(zhuǎn)換成如下 MLEs的漸進(jìn)方差 協(xié)方差矩陣 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 0 1 1 2 0 11012 1 0 1 2 2 0 1,ddDI ? ? ? ??? ? ? ? ?? ???? ???? 其中 ? ? ? ?21 1 0 1 2 2 1 1 2 2 1 2,d I I I I?? ??， ? ? ? ? ? ?21 2 0 1 2 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2,d d I I I I? ? ? ?? ? ? ?，和? ? ? ?22 2 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2,d I I I I?? ??。它遵循了 Bickel和 Doksum（參考 文獻(xiàn) 3，第 398頁）所說的，^^01,D ????????是 ? ?01,D ?? 的一個相合估計。因此， 0? 和 1? 的近似置信區(qū)間分別是 5 ^ ^ ^ ^ ^ ^0 1 1 0 1 0 1 1 0 122, , ,z d z d??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 和 ^ ^ ^ ^ ^ ^0 2 2 0 1 0 2 2 0 122, , ,z d z d??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?， 其中2z?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的2?個百分點。 備注 ， 1n 能夠是 0或者 m 。如果 1nm? 和 2 0n? ，對數(shù)似然函數(shù)變?yōu)? ? ? ? ?1 1 1 111l o g l o g 1m iiiL m r x?? ? ?? ? ? ??。 所以，沒有 0? 和 1? 存在的 MLE。 1? 的 MLE是 ? ?^111 1mi i irXm? ?? ? ?。如果 2nm? 和 1 0n? ，對數(shù)似然函數(shù)變?yōu)? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 1211l o g , l o g 1m iii nL m r x ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??。 值得注意的是，無論 2? 的值為多少，對數(shù)似然函數(shù)是一個 1? 的增加函數(shù)。所以，沒有 0?和 1? 存在的 MLE。 2? 的 MLE是 ? ?? ?^211 1mi i irXm???? ? ? ?。 4. 區(qū)間估計 在這節(jié)中，一個 1? 確切的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間 和 至少 0? 的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間被 構(gòu)造?？紤]以下的信息量： ? ? ? ?? ? ? ?112 1 2 11 1 1, 1 ,... ... ... 1 .m m m mZ nYZ n r Y YZ n r r m Y Y??? ????? ??? (10) Balakrishnan and Aggarwala（參考文獻(xiàn) 2，第 18頁）顯示，廣義的間距 12, , , mZ Z Z ，在 (10)中定義，獨立同分布為標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)分布。所以，根據(jù)在 Lawless11中 ， 1122V Z nY?? 有 2個自由度的卡方分布和 ? ?212 2 1mmi i i iiiU Z r Y n Y????? ? ? ??????? 有 2m2自由度的卡方分布。我們可以發(fā)現(xiàn) U 和 V 是獨立的。 在下面的討論，設(shè) ? ?12,F?? ?在有 1? 和 2? 個自由度的 F 分布的一個百分點上并且設(shè)??2??? 在有 ? 個自由度的卡方分布的一個百分點上。 . 1? 的置信區(qū)間 考慮 10 nm??的情況。設(shè) 12WWD????，其中 6 ? ? ? ? ? ?1111 1n iiiW r X n X???? ? ? ? ?? ， 和 ? ?? ?112 1 1niiinW r X ???? ? ??。 簡單表現(xiàn)了 ? ?111mi i iD r Y nY?? ? ? ?，并且，于是 2DU? 有一個具有 2m2自由度的卡方分布。顯而易見， 112nX V? ? 也有一個具有 2個自由度的卡方分布，并且 1X 和 D 是獨立的。 現(xiàn)在，我們將要得出 1? 的一個置信區(qū)間?？紤]到樞軸量 ? ? ? ?1 2 ,2 211 mn m X FD? ?? 。 設(shè)? ?1 1 2,2 22 mAF????和? ?2 2,2 22 mAF? ??。在 01???，我們得到 ? ?? ? ? ? ? ?1 21112111112 2 2 1111111 vvn m XP A ADn m X n m XP W e WW A W A?? ??????? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 故，如果 ? ? 1121 0n m X WA? ??，一個 1? 的 ? ?100 1 %?? 的置信區(qū)間是 ? ?12,ll ，其中 ? ? 22 1 1 11 l o g , 1 , 21 ii iWAliv v n m X W A??????? ? ???。 (11) 如果 ? ? 1121 0n m X WA? ??，一個 1? 的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間是 ? ?1,l ? 。 注意，先前 1? 的置信區(qū)間在 10 nm??情況下是有效的。然而，在實際中， 1n 可能是 0或者 m 。因為，我們有了以下 兩個備注。 備注 1nm? ，考慮到樞軸量 ? ? ? ?1 2 ,2 201 mn m X FW ?? 。 其中 ? ?0 1 11mi i iW r X nX?? ? ? ?。然后， 1? 的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間是 ? ?,??? ，對于? ? 11201n m XAAW???，空集 ? 在 別處。 備注 3. 當(dāng) 1 0n? 和 2nm? ，考慮到樞軸量 ? ?? ?2122 , 2 201mn