【正文】 t fail in a time interval [0, ]? are observed and some surviving units are removed when a failure occurs。auser, Boston, 2020). 3. P. J. Bickel and K. A. Doksum, Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics, Vol. 1, 2nd edn. (Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2020). 4. A. D. Dharmadhikari and M. M. Rahman, A model for stepstress accelerated life testing, Naval Research Logistics 50 (2020) 841–868. 5. E. Gouno, An inference method for temperature stepstress accelerated life testing, Quality and Reliability Engineering International 17 (2020) 11–18. 6. I. H. Khamis and J. J. Higgins, A new model for stepstress testing, IEEE Transactions on Reliability 47 (1998) 131–134. 7. J. F. Lawless, Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd edn. (John Wiley amp。在這種情況下 ， 為了獲得迅速 地實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品失效 ，一種方法 是在高于 正常 應(yīng)力的條件下進(jìn)行壽命試驗(yàn)。 通過(guò) 研究 了一個(gè)數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明所提出的 方法。 一個(gè) 有關(guān)使用壽命的應(yīng)力模型被 用 來(lái)加速衰減時(shí)間，然后推算估計(jì)在 正常 條件下的失效時(shí)間分布。 在步進(jìn)應(yīng)力方案中， 試驗(yàn)裝置 逐次 在更高 的 應(yīng)力 下 進(jìn)行 試驗(yàn) 。一般所有的試驗(yàn)裝置都 經(jīng)歷同樣的指定模式的 應(yīng)力水平和測(cè)試時(shí)間。 相比 于 完整數(shù)據(jù) ， 從 截尾數(shù)據(jù)中 得到 的估計(jì)是不精確的。如果 試驗(yàn) 者希望 移除 壽命試驗(yàn)的最后終止點(diǎn)和其他的 正在進(jìn)行試驗(yàn)的裝置 ， 上述計(jì)劃將不 能 再被 試驗(yàn) 者使用。這些原因?qū)е?了 我們進(jìn)入 逐次 截尾的領(lǐng)域。在觀察第二個(gè)失效時(shí)， 2r 的存活 單位 隨機(jī)選擇 并 刪除。 在本研究中 ， 我們認(rèn)為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間靠 (1)逐次定數(shù) 截尾 ， (2)正常盈利下 恒定應(yīng)力指數(shù)的失效時(shí)間分布 ，以及 (3)累積 失效 模型 來(lái) 估計(jì) 簡(jiǎn)單步進(jìn)應(yīng)力 ALT。在第 5節(jié) ，對(duì)一個(gè)具體數(shù) 值的數(shù)據(jù)集進(jìn)行研究，并說(shuō)明推理過(guò)程。那是， ? ? 01log iiv? ? ???， 1,? (1) 這里的 0? 和 1? 是未知參 數(shù)。 (見(jiàn)Miller and Nelson9) 從先前的假設(shè)， 測(cè)試 裝置 的 累積分布函數(shù) 在簡(jiǎn)單步進(jìn)應(yīng)力壽命測(cè)試 是 : ? ? ? ?? ?12, 0 x ,F x fo rfx F s x fo r x ??? ????? ? ? ? ? ? ??? 這里 ? ? 1 e x p , 1 , 2 ,i ixF x i???? ? ? ?????和 21S???? 是 ? ? ? ?21F s F ?? 的 解 。根據(jù) (1)， 對(duì)于未知參數(shù) 0? 和1? 的 對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以被寫(xiě)成，對(duì)于 10 nm??時(shí) ， ? ? ? ? ? ?0 1 1 0 1 1 2 0 1 2l og ,L n v n v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 1 0 1 212vvU e U e? ? ? ?? ? ? ???， (3) 其中 ? ? ? ?111 11nni i iiiU r x n r ?????? ? ? ? ???????， 和 ? ?? ?12 1 1miiinU r x ???? ? ??。一個(gè)最大的可能 就 是采用逐步正態(tài)近似獲得 0? 和 1? 的置信區(qū)間。為了得到這些， 讓我們首先考慮以下的信息量。從 Balakrishman和 Aggarwala（參考文獻(xiàn) 2，第 19頁(yè)）中，我們可以得到 iY 的期望是 ? ? ? ?1101 , 1 , , ,1iiijj kkE E Y i mn r j?? ?? ? ?? ? ? ?? 這里 0 0r? 。因此， 0? 和 1? 的近似置信區(qū)間分別是 5 ^ ^ ^ ^ ^ ^0 1 1 0 1 0 1 1 0 122, , ,z d z d??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 和 ^ ^ ^ ^ ^ ^0 2 2 0 1 0 2 2 0 122, , ,z d z d??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?， 其中2z?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的2?個(gè)百分點(diǎn)。 1? 的 MLE是 ? ?^111 1mi i irXm? ?? ? ?。 2? 的 MLE是 ? ?? ?^211 1mi i irXm???? ? ? ?。我們可以發(fā)現(xiàn) U 和 V 是獨(dú)立的。 簡(jiǎn)單表現(xiàn)了 ? ?111mi i iD r Y nY?? ? ? ?，并且，于是 2DU? 有一個(gè)具有 2m2自由度的卡方分布。 設(shè)? ?1 1 2,2 22 mAF????和? ?2 2,2 22 mAF? ??。然而，在實(shí)際中， 1n 可能是 0或者 m 。然后， 1? 的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間是 ? ?,??? ，對(duì)于? ? 11201n m XAAW???，空集 ? 在 別處。 備注 1nm? ，考慮到樞軸量 ? ? ? ?1 2 ,2 201 mn m X FW ?? 。 (11) 如果 ? ? 1121 0n m X WA? ??，一個(gè) 1? 的 ? ?100 1 %?? 置信區(qū)間是 ? ?1,l ? 。 現(xiàn)在，我們將要得出 1? 的一個(gè)置信區(qū)間。 . 1? 的置信區(qū)間 考慮 10 nm??的情況?？紤]以下的信息量： ? ? ? ?? ? ? ?112 1 2 11 1 1, 1 ,... ... ... 1 .m m m mZ nYZ n r Y YZ n r r m Y Y??? ????? ??? (10) Balakrishnan and Aggarwala（參考文獻(xiàn) 2，第 18頁(yè)）顯示，廣義的間距 12, , , mZ Z Z ，在 (10)中定義，獨(dú)立同分布為標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)分布。 值得注意的是，無(wú)論 2? 的值為多少，對(duì)數(shù)似然函數(shù)是一個(gè) 1? 的增加函數(shù)。如果 1nm? 和 2 0n? ，對(duì)數(shù)似然函數(shù)變?yōu)? ? ? ? ?1 1 1 111l o g l o g 1m iiiL m r x?? ? ?? ? ? ??。 Fisher信息量能夠轉(zhuǎn)換成如下 MLEs的漸進(jìn)方差 協(xié)方差矩陣 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 0 1 1 2 0 11012 1 0 1 2 2 0 1,ddDI ? ? ? ??? ? ? ? ?? ???? ???? 其中 ? ? ? ?21 1 0 1 2 2 1 1 2 2 1 2,d I I I I?? ??， ? ? ? ? ? ?21 2 0 1 2 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1 2,d d I I I I? ? ? ?? ? ? ?，和? ? ? ?22 2 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2,d I I I I?? ??。通過(guò) (9)把所有的 iX 轉(zhuǎn)換成 iY 。從公式（ 3），有 ? ?2 120200 1 2l o g , UUL ??? ? ???? ? ? ???? ??， (6) 4 ? ?2 1 1 2 2020 1 1 2l o g , U v U vL ??? ? ? ???? ? ? ????? ??， (7) 和 ? ? 222 1 1 2 20201 1 2l o g , U v U vL ??? ? ???? ? ? ???? ??。然后我們會(huì)發(fā)現(xiàn) 0? 和 1? 的 極大似然估計(jì)量 （ MLEs）分別是 ^ 210 1 22 1 2 11 l o g l o gnnvvv v U U???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???， (4) 和 ^ 120 2 1 2 11 lo g nUv v n U? ??? ??? ??。也就是說(shuō)，當(dāng)測(cè)試在應(yīng)力 iv 1,2i? ，觀察到測(cè)試裝置的失效時(shí)間 in ，并且 12m nn??是失效的總數(shù)。此外，按照累積 失效 模型 已經(jīng) 發(fā)生失效。 在 任何應(yīng)力 下 ， 那些測(cè)試單位的失效壽命 分布 都 是一個(gè)指數(shù)分布。 在第 3節(jié) ， 我們使用極大似 然法獲得了模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。在 m次 觀察失效時(shí)間 ， 被稱(chēng)為 是 從大小為 n的樣本用截尾方案（ 1,...,mrr） 逐次定數(shù) 截尾大小為 m的 有序統(tǒng)計(jì)量。 假設(shè) m的失效 要觀察。然而，這還算可取的，就像在意外破損 情況下的試驗(yàn)裝置，在其中損失的單位中除了終止點(diǎn) 外 可能 都 是不可避免的。最常見(jiàn)的一種截尾方案是 定數(shù) 型截尾方案。對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)單步進(jìn)應(yīng)力 ALT的統(tǒng)計(jì)推斷已被如下幾位作者調(diào)查，諸如 Tang 等 ， 11Khamis 和 Higgins， 6Xiong， 12 Yeo和 Tang， 13Gouno， 5McSorley et al.， 8 Dharmadhikari 和 Rahman， 4和 Alhadeed 和 。如果它不失效 ， 加在裝置上的應(yīng)力升高并維持一定時(shí)間 。 它們包括恒定應(yīng)力，步進(jìn)應(yīng)力、和隨機(jī)應(yīng)力。 1. 介紹 加速壽命試驗(yàn) (ALT)經(jīng)常 被 用于可靠性分析。 通過(guò)一個(gè)應(yīng)力的線性分布和一個(gè)累積失效模型下一個(gè)有效壽命的平均壽命分布， 我們得出模型參數(shù)的極大似然估計(jì) 量 。 Sons, New York, 1990). 11. L. C. Tang, Y. S. Sun, T. N. Goh and H. L. Ong, Analysis of stepstress acceleratedlifetest data: A new approach, IEEE Transactions on Reliability 45 (1996) 69–74. 12. C. Xiong, Inferences on a simple stepstress model with typeII censored exponential data, IEEE Transactions on Reliability 47 (1998) 142–146. 13. . Yeo and . Tang, Planning stepstress lifetest with a target accelerationfactor, IEEE Transactions on Reliability 48 (1999) 61–67. 11 About the Authors ShuoJye Wu is a Professor in the Department of Statistics at Tamkang University. He obtained his . in Statistics from the University of WisconsinMadison. His professional interests are in the development and application of statistical methodology for problems in reliability. HsiuMei Lee obtained her . inManagement Sciences from Tamkang University in 1996. She is currently employed as an Associate Professor in the Department of Statistics at Tamkang University. Her research interest is applied statistics. DarHsin Chen is an Associate Professor in the Graduate Institute of Finance at National Chiao Tung University. He obtained his . in Finance from the University of Mississippi. H