考場仿真卷01-20xx年高考數學模擬考場仿真演練卷(江蘇專用)(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 06:09本頁面
【正文】 數期望最小：①設X表示先A后B完成任務所需人員數目，則 X1 2PP11﹣P1E（X）＝P1+2（1﹣P1）＝2﹣P1，①設Y表示B先后A完成任務所需人員數目，則X 12PP21﹣P2E（Y）＝P2+2（1﹣P2）＝2﹣P2，E（Y）﹣E（X）＝P1﹣P2＞0，故按照先A后B的順序所需人數期望最?。局R點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式、離散型隨機變量的期望與方差、古典概型及其概率計算公式，四邊形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是邊長為2的正三角形，以AC為折痕，將△MAC向上折疊到△DAC的位置，使點D在平面ABC內的射影在AB上，再將△MAC向下折疊到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成幾何體DABCE．（1）點F在BC上，若DF∥平面EAC，求點F的位置；（2）求直線AB與平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）點F為BC的中點，設點D在平面ABC內的射影為O，連接OD，OC，取AC的中點H，連接 EH，由題意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由題意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中點F，連接OF，則OF∥AC，從而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能證明DF∥平面EAC．（2）連接OH，由OF，OH，OD兩兩垂直，以O為坐標原點，OF，OH，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）點F為BC的中點，理由如下：設點D在平面ABC內的射影為O，連接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O為AB的中點，取AC的中點H，連接 EH，由題意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由題意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中點F，連接OF，則OF∥AC，又OF?平面EAC，AC?平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF?平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）連接OH，由（1）可知OF，OH，OD兩兩垂直，以O為坐標原點，OF，OH，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），設平面EBC的法向量＝（a，b，c），則，取a＝，則＝（，0，﹣1），設直線與平面EBC所成的角為θ，則sinθ＝＝＝．∴直線AB與平面EBC所成角的余弦值為cosθ＝＝．【知識點】直線與平面平行、直線與平面所成的角：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P為E的準線上一點，O是坐標原點，且?＝﹣1．（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）過焦點F的動直線與E交于C，D兩點，問在x軸上是否存在定點M（t，0）（其中t≠0），使得x軸平分∠CMD？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（Ⅰ）設P的坐標，幾何向量數量積的坐標運算，解方程可得p＝2，進而得到拋物線的方程；（Ⅱ）假設在x軸上存在定點M（t，0）（其中t≠0），使得x軸平分∠CMD，設C（x1，y1），D（x2，y2），聯立x＝my+1和y2＝4x，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理可得m，t的方程，即有t＝﹣1，可得結論．【解答】解：（Ⅰ）拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F（，0），設點P（﹣，yP），則＝（，0），＝（﹣，yP），∵，∴，∴p＝2，∴拋物線方程為：y2＝4x．（Ⅱ）假設在x軸上存在定點M（t，0）（其中t≠0），使得x軸平分∠CMD，設C（x1，y1），D（x2，y2），聯立x＝my+1和y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，△＝16（m2+1）＞0恒成立．y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．①設直線MC、MD的斜率分別為k1，k2， k1+k2＝+＝＝＝0，∴2my1y2+（1﹣t）（y1+y2）＝0，②聯立①②，得﹣4m（t+1）＝0，故存在t＝﹣1滿足題意，綜上，在x軸上存在一點M（﹣1，0），使得x軸平分∠CMD．【知識點】拋物線的標準方程、直線與拋物線的綜合（x）＝．（1）若函數f（x）的圖象在x＝1處的切線為y＝1，求f（x）的極值；（2）若f（x）≤ex+﹣1恒成立，求實數a的取值范圍．【分析】（1）求出函數的導數，根據f′（1）＝0，求出a的值，從而求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數的極值即可；（2）問題轉化為a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），求出函數的導數，結合函數的單調性求出a的范圍即可．【解答】解：，此時函數f（1）＝a＝1，函數f（x）的圖象在x＝1處的切線為y＝1，成立，所以，此時f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以f（x）的極大值為f（1）＝1，不存在極小值；（2）由，化簡可得a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），則，令，則，所以h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又，存在唯一的，使得，故F（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，由，得，所以a≤3，即實數a的取值范圍是（﹣∞，3]．【知識點】利用導數研究函數的最值、利用導數研究函數的極值、利用導數研究曲線上某點切線方程
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