20xx屆廣東省茂名市高三下學(xué)期第二次綜合測試數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:47本頁面
【正文】 各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率)【答案】（1）；（2）準(zhǔn)備170份，理由見解析.【分析】（1）分和兩種情況即可求出；（2）分別求出和的分布列，進(jìn)而求出期望值進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以；（2）若準(zhǔn)備170份，則的可能取值為1100，1300，1500，1700，則，，故的分布列如下，1100130015001700則的數(shù)學(xué)期望為；若準(zhǔn)備180份，則的可能取值為1000，1200，1400，1600，1800，則，，故的分布列如下，10001200140016001800則的數(shù)學(xué)期望為；因?yàn)?，所以該商鋪?yīng)該準(zhǔn)備170份.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查理由數(shù)學(xué)期望進(jìn)行決策，解題的關(guān)鍵是求出和的分布列，得出數(shù)學(xué)期望.21．已知點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)?分別是線段，上的點(diǎn)，且，.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上，當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由已知可得，可判斷點(diǎn)在以為交點(diǎn)的橢圓上，即可求出方程；（2）將直線方程代入橢圓，利用弦長公式可求出，同理可得，由已知可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證明.【詳解】（1），是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，點(diǎn)在以為交點(diǎn)的橢圓上，且，則，故點(diǎn)的軌跡方程為；（2）可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)，則，可得，則，由題可得，直線的方程為，故同理可得，由可得，即，設(shè)，則是的零點(diǎn)，則在單調(diào)遞增，又，因此在有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓的軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用橢圓定義得出的軌跡為橢圓；考查參數(shù)范圍的證明，解題的關(guān)鍵是利用弦長公式求出弦長，利用已知得出，再利用導(dǎo)數(shù)證明.22．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，使得，證明：.【答案】（1）；（2）證明過程見詳解.【分析】（1）化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論進(jìn)行求解即可；（2）對已知等式進(jìn)行化簡，得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到不等式，進(jìn)而利用放縮法，結(jié)合換元法、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1），設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)此時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，且因此函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，設(shè)，顯然，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，顯然不等式不恒成立，不符合題意，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），即，設(shè)，所以函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)?，是兩個(gè)不相等的正數(shù)，所以不妨設(shè)，因此有，即，因此，即，要想證明成立，只需證明，因?yàn)椋粤?，因此只需證明在時(shí)成立，即在時(shí)成立，設(shè)函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，即，因此成立，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于由，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可以運(yùn)用放縮法、換元法，通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.第 23 頁 共 23 頁
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