20xx屆河南省名校聯(lián)盟高三4月聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:37本頁(yè)面
【正文】 育“健康知識(shí)＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專(zhuān)項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競(jìng)賽－國(guó)際交流比賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國(guó)家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度．某校開(kāi)展“陽(yáng)光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛(ài)．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過(guò)輪踢球，用表示經(jīng)過(guò)第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，；②規(guī)定，且有，請(qǐng)根據(jù)①中，的值求出、并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）①，；②，.【分析】（1）的可能取值為，0，1，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與期望；（2）①，經(jīng)過(guò)2輪投球甲的累計(jì)得分高有兩種情況：一是2輪甲各得1分，二是2輪中有1輪甲得0分，有1輪甲得1分，由此能求出．經(jīng)過(guò)3輪投球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．由此能求出．②推導(dǎo)出，將，代入得，推導(dǎo)出是首項(xiàng)與公比都是的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【詳解】（1）記一輪踢球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨(dú)立．由題意，甲的得分的可能取值為，0，1．，．，∴的分布列為：01．（2）①由（1），．經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．∴，②∵規(guī)定，且有，∴代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，∴．∴．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用待定系數(shù)法得到后，緊扣等比數(shù)列定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（），將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由參數(shù)方程互化得曲線的方程，再根據(jù)平移得曲線的普通方程為，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式即可得答案。（2）方法一：直接將直線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，進(jìn)而利用，計(jì)算求解即可；方法二：設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），進(jìn)而利用直線參數(shù)方程幾何意義求解.【詳解】解：（1），消參數(shù)得．依題意得曲線的普通方程為．令，得曲線的極坐標(biāo)方程為．（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，則，∵，∴，異號(hào)．∴，∵，∴，．法二：設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），代入曲線的普通方程得，則，∵，∴，異號(hào)．∴∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程幾何意義求線段關(guān)系，利用直線的參數(shù)方程求直線與圓錐曲線相交相關(guān)距離問(wèn)題，方法是：（1）將直線參數(shù)方程代入圓錐曲線方程，得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程；（2）利用韋達(dá)定理寫(xiě)出，；（3）利用參數(shù)方程的幾何意義代入計(jì)算.23．已知，，設(shè)函數(shù)，．（1）若，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用絕對(duì)值的三角不等式求出最小值，解不等式，求出a的范圍；（2）利用絕對(duì)值的三角不等式求出最小值，得到，利用柯西不等式證明.【詳解】（1）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴若有解，則，解得，即．（2）證明：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以．由，，所以，所以．令，，根據(jù)柯西不等式，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào)，∵，時(shí)等號(hào)取不到，故．【點(diǎn)睛】（1）含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題處理方法：通過(guò)對(duì)x的范圍的討論去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；（2）利用絕對(duì)值三角不等式，可以減少絕對(duì)值的個(gè)數(shù)，求最大值或最小值.（3）證明不等式，通?？梢詮幕静坏仁?、柯西不等式、絕對(duì)值的三角不等式等方面考慮.31
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