【正文】 ，通過舉例子，說明人類與大鼠發(fā)笑的生理機(jī)制的不同，令人信服。（答案不唯一）從今年開始，“金雞百花電影節(jié)”長期落戶廈門，為了主場館更好的燈光效果，工作人員設(shè)計了燈光組進(jìn)行舞臺投射。其中一組燈光如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉投射．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a176。/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b176。/秒，且a、b滿足|a3b|+(a+b4)2=0．假定舞臺前后幕布是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45176。（1）求a、b的值；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動40秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【答案】（1）a=3，b=1；（2）當(dāng)t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC：∠BCD=3：2【解析】【分析】（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒，兩燈的光束互相平行，再討論燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前與之后.（2）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，分別用t表示∠BCD，∠BAC即可.【詳解】（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒，兩燈的光束互相平行，①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前，∠BAC3t=（20+t）1，解得t=10；②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，3t360+（20+t）1=180176。，解得t=85，綜上所述，當(dāng)t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；（2）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN=180176。3t，∴∠BAC=45176。（180176。3t）=3t135176。，又∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180176。3t=180176。2t，而∠ACD=90176。，∴∠BCD=90176?！螧CA=90176。（180176。2t）=2t90176。，∴∠BAC：∠BCD=3：2，即2∠BAC=3∠BCD．【點睛】本題考查的知識點是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行，內(nèi)錯角相等,分類討論思想，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行，內(nèi)錯角相等,分類討論思想.已知：直線，點、分別在直線，上，點為平面內(nèi)一點．（）如圖，，的數(shù)量關(guān)系是__________．（）利用（）的結(jié)論解決問題：如圖，已知，平分，平分，求得度數(shù)．（）如圖，點為上一點，，交于點，直接寫出，之間的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）【答案】（）（）（）【解析】整體分析：(1)過作，結(jié)合平行公理和平行線的性質(zhì)即可得到，的數(shù)量關(guān)系；(2)直接利用(1)中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可；(3)利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義及角的和差關(guān)系建立之間的數(shù)量關(guān)系.解：（）過作．∵，∴，∴，∴，即：．（）∵平分，平分，∴，∵，由（）結(jié)論可知，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（），之間的數(shù)量關(guān)系是．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（提出問題）（1）如圖1，已知AB∥CD，證明：∠1+∠EPF+∠2＝360176。；（類比探究）（2）如圖2，已知AB∥CD，設(shè)從E點出發(fā)的（n﹣1）條折線形成的n個角分別為∠1，∠2……∠n，探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度數(shù)可能在1700176。至2000176。之間嗎？若有可能請求出n的值，若不可能請說明理由．（拓展延伸）（3）如圖3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點O，若∠E1OEn＝m176。．求∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）可能在1700176。至2000176。之間，n的值為11或12；（3）∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180176。（n﹣1）﹣2m176。．【解析】【分析】(1)過點P做PG∥AB，根據(jù)平行線的判定得出PG∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論即可；（2）過折點作AB的平行線，根據(jù)平行線的判定得出AB∥GH∥…∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（3）過點O作OP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及（2）中的結(jié)論，即可得出∠2+∠3+∠4+…∠（n1）的度數(shù).【詳解】（1）如圖所示，過P作PG∥AB，則∠1+∠GPE＝180176。，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2+∠FPG＝180176。，∴∠1+∠GPE+∠GPF+∠2＝360176。，即∠1+∠EPF+∠2＝360176。；（2）可能在1700176。至2000176。之間．如圖過G作GH∥AB，…，過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥…∥PQ∥CD，∴∠1+∠EGH＝180176。，…，∠QPF+∠n＝180176。，（有（n﹣1）對同旁內(nèi)角）∴∠1+∠2+…∠n﹣1+∠n＝180176。（n﹣1），當(dāng)1700176。＜180176。（n﹣1）＜2000176。時，n＝11，12，∴n的值為11或12；（3）如圖所示，過O作OP∥AB，∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠AE1O＝∠POE1，∠CEnO＝∠POEn，∴∠AE1O+∠CEnO＝∠POE1+∠POEn＝∠E1OEn＝m176。，又∵∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點O，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnO）＝2m176。，由（2）可得，∠AE1E2+∠2+…+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝180176。（n﹣1），∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180176。（n﹣1）﹣2m176。．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能作出輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥，請你利用這個結(jié)論解決以下問題：已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ.（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE＋∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ＝140176。時，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，∠PEQ＝70176。時，請求出∠PFQ的度數(shù).【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由見解析；(2)∠PFQ＝110176。；(3)∠PFQ＝145176。.【解析】【分析】(1) 過E點作EH∥AB,再利用平行線性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.(2)過點E作EM∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140176。，再作NF∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度數(shù).(3)過點E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，再利用角平分線性質(zhì)得到∠DQH＝90176。－α，∠FQD＝90176。＋α，再利用平行線性質(zhì)、角平分線定義∠BPF＝∠BPE＝55176。－α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.【詳解】(1) 過E點作EH∥AB,∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：過點E作EH∥AB ∴∠APE＝∠PEH ∵EH∥AB，AB∥CD ∴EH∥CD ∴∠CQE＝∠QEH，∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH ∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE(2) 過點E作EM∥AB，如圖，同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140176?！摺螧PE＝180176。－∠APE，∠EQD＝180176。－∠CQE，∴∠BPE＋∠EQD＝360176。－(∠APE＋∠CQE)＝220176。，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD ∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD∴∠BPF＋∠DQF＝(∠BPE＋∠EQD)＝110176。，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110176。(3) 過點E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α，∵EM∥CD，AB∥CD ∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－(70176。＋α)＝110176。－α∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝55176。－α，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145176?！军c睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)定理，根據(jù)性質(zhì)定理得到角的關(guān)系．如圖，直線AB和直線BC相交于點B，連接AC，點D、E、H分別在AB、AC、BC上，連接DE、DH，F(xiàn)是DH上一點，已知∠1+∠3＝180176。（1）求證：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度數(shù)．（用α表示）【答案】（1）證明見解析，（2）∠3=90176。+α.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵∠3+∠DFE=180176。，∠1+∠3=180176。∴∠DFE=∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF=∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2+∠BDE=180176。又∵∠2=α∴∠BDE=180176。α又∵DH平 分∠BDE∴∠1=∠BDE=（180176。α）∴∠3=180176。（180176。α）=90176。+α【點睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定等知識點，注意：①同位角相等，兩直線平行，②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．感知：如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD內(nèi)部，則∠P、∠A、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系是　 ?。骄浚喝鐖D②，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則∠APC、∠A、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系是　 　．請補(bǔ)全以下證明過程：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝　 　∵AB∥CD，PQ∥AB∴　 　∥CD∴∠C＝∠　 　∵∠APC＝∠　 　﹣∠　 　∴∠APC＝　 　應(yīng)用：（1）如圖④，為北斗七星的位置圖，如圖⑤，將北斗七星分別標(biāo)為A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三點在一條直線上，AB∥EF，則∠B、∠D、∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是　 　．（2）如圖⑥，在（1）問的條件下，延長AB到點M，延長FE到點N，過點B和點E分別作射線BP和EP，交于點P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25176。，則∠D﹣∠P＝　 　176。．【答案】（1）∠P＝∠A+∠C；∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C；∠D+∠B﹣∠E＝180176。（2）75【解析】【分析】作平行線利用平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)通過角等量關(guān)系轉(zhuǎn)化解題即可．【詳解】解：感知：如圖①，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD，∴∠C＝∠QPC，∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，∠APC＝∠A+∠C．故答案為∠P＝∠A+∠C；探究：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD∴∠C＝∠CPQ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ∴∠APC＝∠A﹣∠C．故答案為：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．應(yīng)用：（1）如圖⑤，過點D作DH∥EF，∴∠HDE＝∠E，∵AB∥EF，DH∥EF∴AB∥DH，∴∠B+∠BDH＝180176。，即∠BDH＝180176。﹣∠B，∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180176。﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180176。，故答案為∠D+∠B﹣∠E＝180176。，（2）如圖⑥，過點P作PH∥EF，∴∠EPH＝∠NEP，∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH，∴∠MBP+∠BPH＝180176。，∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25176。，∠MBP＝2∠MBD＝225176。＝50176。，∠BPH＝180176。﹣50176。＝130176。，∵EN平分∠DEP，∴∠NEP＝∠DEN∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130176。﹣（180176。﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50176。由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180176。，∵∠MBD＝25176。，∴∠ABD＝155176。，∴∠D+∠155176。﹣∠DEF＝180176。，∴∠DEF＝∠D﹣25176?！唷螧PE＝∠DEF﹣50176。＝∠D﹣25176。﹣50176。＝∠D﹣75176?！螪﹣∠BPE＝75176。即∠D﹣∠P＝75176。，故答案75．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，正確運(yùn)用角平分線與平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．