專題10：排列組合解題方法及典型例題(解析版)(人教a版20xx選擇性必修第三冊)-資料下載頁
2025-04-03 03:47本頁面
【正文】 34， 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是_______.【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。(3)若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20.【解析二】設(shè)想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有5x4x3=60種染色方法。 由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有1x3+2x2=7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60x7=420【解析三】可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有幾種的涂色方法？總體實施分步完成,可分為四大步:①給S涂色有5種方法。②給A涂色有4種方法(與S不同色)。③給B涂色有3種方法(與A,S不同色)。④給C,C,D都有2種涂色方法。 當(dāng)C與A同色時,C有一種涂色方法(與A同色),D涂色共有22+3=7種方法.由分步計數(shù)原理共有5437=420種方法[規(guī)律小結(jié)] 涂色問題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論。（2）根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論。（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。十二． 幾何中的排列組合問題:35．如圖，的邊上有四個點，邊上有三個點，則以為頂點的三角形個數(shù)為______.【答案】42【分析】根據(jù)題意，用間接法，首先計算從8個點中選擇3個點，再減去其中不能構(gòu)成三角形的情況.【詳解】先從這個點中任取個點，有種情況；再減去不能構(gòu)成三角形的情況，即三點共線的情形有種情況，故所求三角形個數(shù)為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查36．如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4．（1）以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個？其中含點C1的有多少個？（2）以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？【答案】（1）116(個)；36(個)；（2）360(個)．【分析】（1）可以分成三類即在C1，C2，…，C6這六個點任取三點，在C1，C2，…，C6中任取一點，D1，D2，D3，D4中任取兩點和C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取一點，將三類情況加到一起即可；（2）需要四個點，且無三點共線，類似于（1）可分三種情況討論得四邊形個數(shù)為【詳解】（1）可分三種情況處理：①C1，C2，…，C6這六個點任取三點可構(gòu)成一個三角形,有種；②C1，C2，…，C6中任取一點，D1，D2，D3，D4中任取兩點可構(gòu)成一個三角形，有種；③C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取一點可構(gòu)成一個三角形，有．所以共有=116(個)．其中含C1點的三角形有=36(個)．（2）構(gòu)成一個四邊形，需要四個點，且無三點共線，C1，C2，…，C6這六個點中任意三點都不共線.①C1，C2，…，C6這六個點任取四點可構(gòu)成一個四邊形，有種；②C1，C2，…，C6中任取三點，D1，D2，D3，D4中任取一點可構(gòu)成一個四邊形，有種；③C1，C2，…，C6中任取兩點，D1，D2，D3，D4中任取兩點可構(gòu)成一個四邊形，有種．所以共有=360(個)．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查解決組合的實際問題，解答本題的關(guān)鍵是將問題分為三類，即以在C1，C2，…，C6和取點的個數(shù)情況進行分類討論，屬于中檔題.組合數(shù)的應(yīng)用，在求解排列組合的綜合問題時，在正面分類討論較為復(fù)雜時，可采取間接法來求解19
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