福建省泉州科技中學(xué)20xx-20xx學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題-【含答案】-資料下載頁(yè)
2025-04-03 02:20本頁(yè)面
【正文】 當(dāng)a1時(shí)，令f39。(x)=0，得x=ln2(a+1)，當(dāng)xln2(a+1)時(shí)，f39。(x)0，f(x)在(∞,ln2(a+1))上單調(diào)遞減；當(dāng)xln2(a+1)時(shí)，f39。(x)0，f(x)在(ln2(a+1),+∞)上單調(diào)遞增；(2)設(shè)g(x)=f(x)12x22(a+1)2=ex12x22(a+1)x2(a+1)2+32=ex12[x+2(a+1)]2+32，即g(x)≥0對(duì)x∈[0,+∞)恒成立，g39。(x)=ex(x+2a+2)，令h(x)=g39。(x)，h39。(x)=ex1≥0對(duì)x∈[0,+∞)恒成立，h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)≥h(0)=2a1，?①當(dāng)2a1≥0，即a≤12時(shí)，h(x)=g39。(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min=g(0)=522(a+1)2≥0，∴152≤a≤1+52，又a≤12，∴152≤a≤12，?②當(dāng)2a10，即a12時(shí)，則存在唯一的x0∈(0,+∞)使h(x0)=0，ex0x02(a+1)=0，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h(x)=g39。(x)0，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，h(x)=g39。(x)0，即x∈(0,x0)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，x∈(x0,+∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，故g(x)min=g(x0)=ex012e2x0+32≥0，解得0ex0≤3，0x0≤ln3，又2(a+1)=ex0x0，而exx在[0,+∞)上單調(diào)遞增，∴12(a+1)≤3ln3，解得12a≤1ln32．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[152,1ln32].22.【答案】解：(1)f(x)=h(x)g(x)=ex2xlnxex+ax2+ax=ax2+(a2)xlnx(x0)，①f39。(x)=2ax+(a2)1x=2ax2+(a2)x1x=(2x+1)(ax1)x(x0)，(i)當(dāng)a≤0時(shí)，f39。(x)0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減；(ii)當(dāng)a0時(shí)，令f39。(x)0，解得x1a；令f39。(x)0，解得0x1a，∴函數(shù)f(x)在(0,1a)遞減，在(1a,+∞)遞增；綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增；②由①知，若a≤0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故a0；且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞；故要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需f(x)min=f(1a)=a?(1a)2+a2aln1a0，即lna1a+10，又函數(shù)y=lnx1x+1在(0,+∞)上為增函數(shù)，且ln111+1=0，故lna1a+10的解集為(0,1)．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)；(2)證明：g39。(x)=ex2axa，依題意，ex12ax1a=0ex22ax2a=0，兩式相減得，2a=ex1ex2x1x2(x1x2)，要證x1+x2ln(4a2)，即證x1+x22ln2a，即證ex1+x22ex1ex2x1x2，兩邊同除以ex2，即證(x1x2)ex1x22ex1x21，令t=x1x2(t0)，即證tet2et+10，令h(t)=tet2et+1(t0)，則h39。(t)=et2[et2(t2+1)]，令p(t)=et2(t2+1)，則p39。(t)=12(et21)，當(dāng)t0時(shí)，p39。(t)0，p(t)在(∞,0)上遞減，∴p(t)p(0)=0，∴h39。(t)0，∴h(t)在(∞,0)上遞減，∴h(t)h(0)=0，即tet2et+10，故x1+x2ln(4a2)．【解析】(1)①求出f(x)并求導(dǎo)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；②顯然a0，分析可知只需f(x)的最小值小于0即可滿足條件，進(jìn)而得解；(2)依題意，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明(x1x2)ex1x22ex1x21，再通過(guò)換元構(gòu)造新函數(shù)即可得證．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，換元思想及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
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