【正文】 的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、D不重合），∠APE=90176。，且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F．（1）求證：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時(shí)，AE∥PC，并判斷此時(shí)四邊形PAFC的形狀．【答案】（1）見解析；（2）；（3）x=﹣1；四邊形PAFC是菱形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP176。，再根據(jù)PB=PB，即可證出△PAB≌△PCB，②根據(jù)∠PAB+∠PEB=180176。，∠PEC+∠PEB=180176。，得出∠PEC=∠PCB，從而證出PE=PC；（2）根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)∠APE=90176。，得出∠PAE=∠PEA=45176。，即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45176。，從而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，從而證出BP=BC=1，x=﹣1，再根據(jù)AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=176。，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=176。，PA=PC，從而證出AF=AP=PC，得出答案．試題解析：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45176。．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90176。，∴∠PAB+∠PEB=180176。，又∵∠PEC+∠PEB=180176。，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不改變．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90176。，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45176。，∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45176。，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180176。﹣45176。）=176。．在△PBC中，∠BPC=（180176。﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180176。﹣45176。﹣176。）=176。．∴∠BPC=∠PCE=176。，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=176。，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=176。，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四邊形PAFC是菱形．考點(diǎn)：四邊形綜合題．14．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），CE與BD相交于點(diǎn)F，設(shè)線段BE的長(zhǎng)度為x．（1）如圖1，當(dāng)AD=2OF時(shí)，求出x的值；（2）如圖2，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接AP，設(shè)△APE的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．【解析】試題分析：（1）過O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，由平行線等分線段定理得到CM=ME，根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到結(jié)果；（2）過P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，根據(jù)已知條件得到∠ECB=∠PEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=（1﹣x）?x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．試題解析：（1）過O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）過P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，∵∠CEP=∠EBC=90176。，∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90176。，在△EPG與△CEB中，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．考點(diǎn)：四邊形綜合題15．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題．習(xí)題 如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176。，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90176。，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．∴∠E′AF=90176。45176。=45176。=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．類比猜想：（1）請(qǐng)同學(xué)們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說明理由．（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120176。，則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180176。，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時(shí)，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120176。，∠EAF=60176。，∴AB=AD，∠1+∠2=60176。，∠B=∠ADC=60176。，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，∴∠EAE′=120176。，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60176。，∴∠2+∠3=60176。，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120176。，即點(diǎn)F、D、E′不共線，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF成立．理由如下：如圖（3），∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180176。，∴∠ADE′+∠D=180176。，∴點(diǎn)F、D、E′共線，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；歸納：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF．考點(diǎn)：四邊形綜合題．