【正文】 （3）由（1）（2）可知當(dāng)∠An2MN等于n邊形的內(nèi)角時(shí)，結(jié)論An2M=MN仍然成立；即∠An2MN=時(shí)，結(jié)論An2M=MN仍然成立；故答案為[]．點(diǎn)睛：本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，同時(shí)考查了學(xué)生的歸納能力及分析、解決問題的能力．難度較大．14．已知邊長為1的正方形ABCD中， P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作PE⊥PB ，PE交射線DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)（如圖），①求證：PB=PE；②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度不變，值為；（2）畫圖見解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）①過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；②連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）可分點(diǎn)E在線段DC上和點(diǎn)E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計(jì)算就可求出符合要求的AP的長．詳解：（1）①證明：過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45176。．∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。，∴∠BPG=90176。﹣∠GPE=∠EPH．在△PGB和△PHE中，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB=PE．②連接BD，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。，∴∠PBO=90176。﹣∠BPO=∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE=90176。，∴∠BOP=∠PFE．在△BOP和△PFE中， ∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO=PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90176。，∴BC=OB．∵BC=1，∴OB=，∴PF=．∴點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度不變，值為．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，符合要求的圖形如圖3所示．同理可得：PB=PE，PF=．（3）①若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1．∵∠BPE=∠BCE=90176。，∴∠PBC+∠PEC=180176。．∵∠PBC＜90176。，∴∠PEC＞90176。．若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45176。，∴∠PEC=90176。，與∠PEC＞90176。矛盾，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，△PEC不可能是等腰三角形．②若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，如圖4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135176。，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=176。．∴∠APB=180176。﹣90176。﹣176。=176。．∵∠PRC=90176。+∠PBR=90176。+∠CER，∴∠PBR=∠CER=176。，∴∠ABP=176。，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的長為1．點(diǎn)睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．15．（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識(shí)時(shí)總結(jié)了如下結(jié)論：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應(yīng)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動(dòng)和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PB，PA為邊構(gòu)造□APBQ，求對(duì)角線PQ的最小值及PQ最小時(shí)的值．（1）在解決這個(gè)問題時(shí)，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為 ，當(dāng)PQ最小時(shí)= _____ __；（2）小明對(duì)問題1做了簡單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，延長PA到點(diǎn)E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對(duì)角線PQ長的最小值，并求PQ最小時(shí)的值；問題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若為上任意一點(diǎn)，以，為邊作□．試求對(duì)角線長的最小值和PQ最小時(shí)的值．（2）若為上任意一點(diǎn)，延長到，使，再以，為邊作□．請(qǐng)直接寫出對(duì)角線長的最小值和PQ最小時(shí)的值．【答案】問題1：（1）3，；（2）PQ=，=．問題2：（1）=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：問題1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PCBQ是矩形，然后根據(jù)條件“四邊形APBQ是平行四邊形可得AP=QB=PC，從而可求的值．（2）由題可知：當(dāng)QP⊥AC時(shí)，PQ最?。^點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．此時(shí)四邊形CDPQ為矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問題2：（1）設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當(dāng)QP⊥AB時(shí)，PQ最小，此時(shí)=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng) AB時(shí)，的長最小，PQ的最小值為．．試題解析：問題1：（1）3，；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意可知當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最短．所以此時(shí)四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因?yàn)椤螧CA=90176。，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因?yàn)锳E=nPA，所以PE==CQ=PD=ADAP=．所以AP=．所以=．問題2：（1）如圖2，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．所以G是DC的中點(diǎn)，作QHBC，交BC的延長線于H，因?yàn)锳D//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由圖知，當(dāng) AB時(shí)，的長最小，即=CH=4．易得四邊形BPQH為矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若學(xué)生有能力從梯形中位線角度考慮，若正確即可評(píng)分．但講評(píng)時(shí)不作要求）（2）PQ的最小值為．．考點(diǎn)：1．直角三角形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．平行四邊形的性質(zhì)；4矩形的判定與性質(zhì)．