數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限存在的條件(編輯修改稿)
2024-09-14 09:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??對(duì)于單調(diào)函數(shù) , 歸結(jié)原則的條件就要簡(jiǎn)單得多 . 例 3 )(l i m),()(00 xfxUxf xx ??? 則上單調(diào)，在設(shè) ??存在的充要條件是存在一個(gè)數(shù)列 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,)(}{ 0,0 xxxUx nn ?? ? ??.)(l i m 存在使 nn xf??證 必要性可直接由歸結(jié)原則得出 , 下面證明充分 ,)(}{ 039。,0 xxxUx nn ?? ? ??設(shè) .)(l i m Axf nn ???.)( ?? ???? AxfA n對(duì)于任意 ),( 00 xxxUx N ?? ?? ).()( xffA N ??? ?,0 N??? ?故 當(dāng) 時(shí) , 有 Nn ?假設(shè) )(xf 遞減． 性 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,0 xxx n ??又因?yàn)?),(1 NN ??所以 ,1 xx N ?使因此從而 .)()( 1 ???? Axfxf N.)( ?? ???? AxfA.)(lim0Axfxx ???即?? ))(xfy ?xNx1Nx x0xOy??A??AA返回 后頁(yè) 前頁(yè) 三、柯西收斂準(zhǔn)則 的柯西收斂準(zhǔn)則 , 請(qǐng)讀者自 這里 僅給出 )(lim xfx ???有定義 , 則極限 )(lim xfx ???存在的充要條件是 : 任 ),(,0 MX ?? 存在給 ? 均有對(duì)于任意 , 21 Xxx ?.|)()(| 21 ??? xfxf定理 設(shè) f (x) 在 ?? 的某個(gè)鄰域 }|{ Mxx ?上 明之 . 行寫出其他五種極限類型的柯西收斂準(zhǔn)則，并證 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),( MX ?存在 對(duì)一切 x X， .2|)(| ??? Axf有所以對(duì)一切 , 21 Xxx ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | .f x f x f x A f x A ?? ? ? ? ? ?證（必要性） ,)(l i m Axfx ????設(shè)則對(duì)于任意 ,0??(充分性 ) ? ? 對(duì)一切，存在對(duì)任意的 ,0 MX ???有, 21 Xxx ?? ? ? ? .21 ??? xfxf返回 后頁(yè) 前頁(yè) ，則存在任取 Nxx nn ???,}{ ,時(shí)當(dāng) Nn ?.)()( ??? mn xfxf? ?? ? ., 因此收斂是柯西列這就是說(shuō) nxf使若存在 ,},{,}{ ?????? nnnn yxyx.)}({ 發(fā)散，矛盾但 nzf,)(,)( ABByfAxf nn ???? ? 1 1 2 2, , , , ,n n nz x y x y x y則 令 為 ， ， ，.???nz顯然故, Mxx mn ? ,. 時(shí)又當(dāng) NmnXx n ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這樣就證明了對(duì)于任意的 ,},{
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