江南中學(xué)數(shù)學(xué)選拔賽試卷(編輯修改稿)
2024-09-12 09:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 72，由于 117＝ 72＋ 45＝ 63＋ 54，設(shè)弄錯的兩位數(shù)是 ab 和 cd ，若9ab? =72， 9cd? =45，只有 ab ＝ 19，而 cd 可以取 l6， 27， 38， 49；這時 ab +cd的最大值是 68；若 9ab? =63， 9cd? =54，則 ab 可以取 18， 29，而 cd 可以取17， 28， 39， ab +cd 的最大值也是 68． 三、解答題 (每 題 8分 ，滿分 40分 ) ： （ Ⅰ ） 如圖， 由拋物線開口向上，得 0a? ． ?? 1 分 由拋物線過點 (0, 1)? ，得 10c?? ? ． ?? 2 分 由拋物線對稱軸在 y 軸的右側(cè)，得 02ba??， 又 0a? ， 得 0b? ． ∴ 0a? ， 0b? ， 0c? ． ?????????????? 4 分 （ Ⅱ ）由拋物線過點 (1,0)? ，得 0a b c? ? ? ． 即 1ab??，由 0a? ，得 1b?? ． ?????????????? 6 分 ∴ 10b? ? ? ，∴ ( 1 ) 1 2a b c b b b? ? ? ? ? ? ?． ∴ 20abc? ? ? ? ? ． ?????????????? 8 分 ： 由 勾股定理 ，得 2 2 2c a b??． ?????????????? 3 分 又 1 ()3c ab a b? ? ?，得 2 2 2 21 1 2[ ( ) ] ( ) ( ) ( )3 9 3c a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?． 即 2 2 2 2 212( ) ( ) 293a b a b a b a b a a b b? ? ? ? ? ? ?． 整理，得 6( ) 18 0ab a b? ? ? ?．即 ( 6)( 6) 18ab? ? ? ． ????????? 4 分 因為 ,ab均為正整數(shù)，不妨設(shè) ab? ， 可得 6 1,6 18,ab ???? ???或 6 2,6 9,ab???? ???或 6 3,6 ???? ??? 可解出 7,24,25,abc????????或 8,15,17,abc????????或 9,12,15.abc???????? 所以，滿足條件的直角三角形有 3 個． ?????????????? 8 分 ： （ Ⅰ ） 【證明 】 ∵△ ACD? 是△ ACD 沿 AD 做軸對稱變換得到的， ∴△ ACD? ≌△ ACD . 有 CD CD? ? ， ADC ADC?? ?? ． ?????? 1 分 ∵ 12BD CD?， 60ADC??， ∴ 12BD CD??， 18 0 60BDC ADC ADC??? ? ? ? ? ? ?． ?? 2 分 取 CD? 中點 P，連接 BP ，則△ BDP 為等邊三角形，△ BCP? 為等腰三角形， ? 3 分 有 11 3022B C D B P D B D C??? ? ? ? ? ? ?． ∴ 90CBD???，即 BC BC?? ． ?? 4 分 （ Ⅱ ） 【解 】 如圖，過點 A 分別作 ,BC C D BC??的垂線，垂足分別為 ,E F G ． ∵ ADC ADC?? ?? ， 即點 A 在 CDC?? 的平分線上， ∴ AE AF? ． ?? 13 分 ∵ 90CBD???， 45ABC??， ∴ 45GBA C BC ABC?? ? ? ? ? ?， 即點 A 在 GBC? 的平分線上，∴ AG AE? ． ?? 6 分 于是， AG AF? ，則點 A 在 GCD?? 的平分線上 ． ?????????? 7 分
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