【文章內(nèi)容簡介】 nn+1a+x(a+x)1(n)n!)=[ln(1x)](n+1)=n+1ax(ax)((3)二項式定理(uv)(n)(nk)(k)=229。Ckuv nk=0n（4）間接法求高階導數(shù)：1x2例求y=的n階導數(shù)：提示y=1+。1+x1+x（5）注意下列函數(shù)的求導例求下列函數(shù)的二階導數(shù)：P103頁第3題（重要）（1）y=f(x2)；（2）y=ln[f(x)]隱函數(shù)及參數(shù)方程求導（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出dy。dx（2）會求二階導數(shù)（3）對數(shù)求導法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導數(shù)的公式dydyd()2()162。tdydtdx。（重要）==dxdx2dtdxdxdt（5）相關變化率問題：根據(jù)題意給出變量x和y之間的關系；223。兩邊對t（或者是其他變量）求導223。dydx和之間的關系，已知其中一個求另外一個。dtdt函數(shù)的微分（1）微分與可導的關系：可微219?？蓪襠y=f162。(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例設ysinxcos(xy)=0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有d(ysinx)d(cos(xy))=0sinxdy+ycosxdx+sin(xy)(dxdy)=0dy=ycosx+sin(xy)dx。sin(xy)sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)187。f(x0)+f162。(x0)(xx0)第三章：微分中值定理與導數(shù)的應用復習提要 微分中值定理（重要）羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應用： 證明等式，一般通過證明導數(shù)為零證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數(shù)用中值定理，有時還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習題6）（重要）利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個函數(shù)用拉格朗日，二個用柯西）例1 設函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(1)=0，證明至少存在一點x206。(0,1)使得f162。(x)=2f(x)x。證明：上述問題等價于xf162。(x)+2f(x)=0。令f(x)=x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點x206。(0,1)使得j162。(x)=2xf(x)+x2f162。(x)=0 即有xf162。(x)+2f(x)=0。（5） 洛必達法則（重要）（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0165。型和型未定式 0165。（2）每次用前需判斷（3）結(jié)合等價無窮小效果更佳。 泰勒公式（1）一般方法：求各階導數(shù)代入公式即可；（2）常見函數(shù)ex,ln(1+x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點。注意不要漏掉導數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)間的分點； 二階導數(shù)不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要） 極值和最值（重要）（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 曲率（1）弧微分公式（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復習提要 不定積分的概念和性質(zhì)基本積分表162。公式242。f(x)dx=f(x)和242。f162。(x)dx=f(x)+C ()注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若ex是f(x)的原函數(shù)，則242。x2f(lnx)dx=若f(x)是ex的原函數(shù)，則242。12x+C 2f(lnx)1dx= +C0lnx+C xx若f(x)的導數(shù)為sinx，則f(x)的一個原函數(shù)是（B）。A 1+sinx。B 1sinx。C 1+cosx。D 1cosx 換元積分法（重要）第一換元法的原理：242。g(x)dx把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)=f(j(x))j162。(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。一些規(guī)律： ①242。f(x)1xdx=2242。f(x)(x)162。=2242。f(x)dx11162。f(ax+b)(ax+b)dx=f(ax+b)d(ax+b)a242。a242。②242。f(ax+b)dx=1③242。f(lnx)dx=242。f(lnx)(lnx)162。dx=242。f(lnx)d(lnx)x④242。sin(2k+1)xcosnxdx=242。sin2kxcosnxsinxdx=242。(1cos2x)cosnxdcosx ⑤242。cos(2k+1)kxsinxdx=242。cosxsinxcosxdx=242。(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：242。sin(2k+1)xdx和242。cos(2k+1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥242。sin2kxcos2nxdx用公式sin2x=⑦242。tanxse2k+2n2k1cos2x1+cos2x和cos2x=降次。22n2kxdx=242。tanxsecxdtanx=242。tanx(1+tanx)dtanx注242。sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形⑧242。csc2k+2xdx=242。csc2kxcsc2xdx=242。(1+cot2x)dcotx⑨242。tan(2k+1)xsexdx=242。tan2kxse1xdsecx=242。(sec2x1)se1xdsecx ⑩利用積化和差公式：1cosAcosB=[cos(AB)+cos(A+B)]21sinAcosB=[sin(A+B)+sin(AB)]21cosAsinB=[sin(A+B)sin(AB)]21sinAsinB=[cos(AB)cos(A+B)]2第二換元法被積函數(shù)中含有a2x2，利用代換x=asint,t206。(被積函數(shù)中含有a2+x2，利用代換x=atant,t206。(kkpp,)22,)22pp被積函數(shù)中含有x2a2，利用代換x=asect,t206。(0,p)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：⒃242。tanxdx=ln|cosx|+C；⒄242。cotxdx=ln|sinx|+C⒅242。secxdx=ln|secx+tanx|+C；⒆242。cscxdx=ln|cscxcotx|+C ⒇242。dx1xdx1xa=arctan+C；（21）=ln242。x2a22ax+a+C aa2+x2a（22）242。xdx=arcsin+C；=ln(x+a2+x2)+C（23）242。ax2a2a2+x2dx（24）242。dxx2a2=lnx+x2a2+C 分部積分法（重要）分部積分公式：242。udv=uv242。vduu的選取原則：反174。對174。冪174。指174。三。這個原則不是絕對的，如通常242。exsinxdx=242。sinxdex。如果遇到反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如242。(arcsinx)2dxarcsinx=t242。t2dsint；ln2x2ttdxlnx=t242。edt 242。x2遇到根式ax+b，先令t=ax+b去根號。會做形如例8那樣具有典型特點的題目。 有理函數(shù)的積分（重要）P(x)，先用多項式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)對Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x+1x+1AB=+：應設(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 242。x+2x+2ABx+C：應設 =+242。(2x+1)(x2+x+1)(2x+1)(x2+x+1)(2x+1)(x2+x+1)x+2x+2ABx3+Cx2+Dx+E242。(2x+1)(x2+x+1)2：應設(2x+1)(x2+x+1)=(2x+1)+(x2+x+1)2原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分xxx2tan1tan22tan2；cosx=2；tanx=2 sinx=xxx1+tan21+tan21tan2222x令tan=t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)+b或nax+bcx+d，則令t=nax+b或t=nax+bcx+d 幾個典型題目 P207頁（42）242。x1dxdx，（43）242。x+1x2P211頁例8 x2+2x+3補充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習，方能取