mathematics第8講(編輯修改稿)
2024-11-17 05:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 每一個實對稱矩陣A，利用正交變換總可將A轉(zhuǎn)化為對角矩陣，其主對角線上的元素就是A的n個特征值。 如果A是一個實的非對稱矩陣，那么A的特征值與特征向量的結(jié)構(gòu)將會比較復(fù)雜，上述關(guān)于實對稱矩陣的結(jié)論(1)，(2)，(3)往往不能保證成立。,第二十八頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,在線性代數(shù)里，計算特征值與特征向量是一個比較復(fù)雜，繁瑣的過程，在Mathematica系統(tǒng)里都將它們設(shè)計為簡便的調(diào)用函數(shù)，它們的使用格式如下： Eigenvalues[A] 計算矩陣A的(精確形式的)特征值表 Eigenvectors[A] 計算矩陣A的(精確形式的)特征向量表 Eigensystem[A] 計算所有的{{特征值}，{特征向量}} Eigenvalues[N[A]] 計算矩陣A的特征值表的數(shù)值解 Eigenvectors[N[A]] 計算矩陣A的特征向量表的數(shù)值解,第二十九頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例88】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量 (1) A1 = {{5, 2, 0}, {2, 6, 2}, {0, 2, 7}} (2) A2 = {{l, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} (3) A3 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} A1 = {{5, 2, 0}, {2, 6, 2}, {0, 2, 7}}。 Eigensystem[A1] 求得特征值?1 = 3，?2 = 6，?3 = 9 特征向量p1={2,2,1}, p2={2,1,2}, p3={1, 2, 2} 由于?1，?2，?3均是相異實根(單根)，故可肯定特征向量兩兩正交, 即有p1p239。= 0，p2p339。= 0，p3p139。= 0,第三十頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例88】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = {{5, 2, 0}, {2, 6, 2}, {0, 2, 7}} (2) A2 = {{l, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} (3) A3 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} A2 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}}。 Eigensystem[A2] ?1 = 1，?2 = ?3 = 2，?1與?2互異，?1與?3互異， 故有p1p239。 = 0，p1p339。 = 0。,第三十一頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例88】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = {{5, 2, 0}, {2, 6, 2}, {0, 2, 7}} (2) A2 = {{l, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} (3) A3 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} A3 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}}。 Eigensystem[A3] N[%],第三十二頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例88】求實對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) A1 = {{5, 2, 0}, {2, 6, 2}, {0, 2, 7}} (2) A2 = {{l, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} (3) A3 = {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} 如果改用最后兩個計算函數(shù)，也可得到相同的結(jié)果。 Eigenvalues[N[A3]] Eigenvectors[N[A3]] 由3個特征值互異知，3個特征向量兩兩正交。,第三十三頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例89】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) B1 = {{l，4，2}，{0，1，1}，{0，2，4}} (2) B2 = {{1，2，2}，{1，1，1}，{4，12，1}} (3) B3 = {{2，1，1}，{0，2，1}，{0，0，2}} B1 = {{1, 4, 2}, {0, 1, 1}, {0, 2, 4}} Eigensystem[B1] B1的3個特征值1，2，3雖均互異，但特征向量p1，p2，p3之間不能保證正交。,第三十四頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例89】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) B1 = {{l，4，2}，{0，1，1}，{0，2，4}} (2) B2 = {{1，2，2}，{1，1，1}，{4，12，1}} (3) B3 = {{2，1，1}，{0，2，1}，{0，0，2}} B2 = {{1, 2, 2}, {1, 1, 1}, {4, 12, 1}} Eigensystem[B2] B2中的元素雖然全部為實數(shù)，但B2的特征值與特征向量卻可能是復(fù)數(shù)。,第三十五頁，共六十八頁。,8.2 特征值和特征向量,【例89】求下列實非對稱矩陣的全部特征值與特征向量。 (1) B1 = {{l，4，2}，{0，1，1}，{0，2，4}} (2) B2 = {{1，2，2}，{1，1，1}，{4，12，1}} (3) B3 = {{2，1，1}，{0，2，1}，{0，0，2}} B3 = {{2, 1, 1}, {0, 2, 1}, {0, 0, 2}} Eigensystem[B3] B3有一個3重特征值?1 = ?2 = ?3 = 2，只有一個線性獨立的特征向量p = {1，0，0}。,第三十六頁，共六十八頁。,8.3 線性方程組求解,有了上面的基本工具，下面就可以來討論線性方程組Ax=b的求解問題，式中A為m?n階系數(shù)矩陣，b為m?1階右端列向量，x為待求的n?1階列向量。 當m = n且行列式，|A| ? 0時，稱Ax = b為恰定方程組； 當m n時，稱AX = b為超定方程組； 這里總假定m≤n。,第三
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