第8講物聯(lián)網(wǎng)感知層安全二(編輯修改稿)
2025-03-20 20:16 本頁面
【文章內容簡介】 2023/3/21 15 ? 密碼中普遍采用的是有限域上的橢圓曲線，有限域上的橢圓曲線是指曲線方程定義式 ()中，所有系數(shù)都是某一有限域 GF(p)中的元素（其中 p為一大素數(shù)）。其中最為常用的是由方程 ?y2≡x3+ax+b(mod p) ?(a,b∈ GF(p),4a3+27b2(mod p)≠0) () ?定義的曲線。 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 16 ?例 p=23， a=b=1， 4a3+27b2(mod 23)≡8≠0 ， 方程()為 y2≡x3+x+1， 其圖形是連續(xù)曲線，由圖 (b)所示。 ? 然而我們感興趣的是曲線在第一象限中的整數(shù)點。設Ep(a,b)表示方程 ()所定義的橢圓曲線上的點集{(x,y)|0≤xp,0≤yp， 且 x,y均為整數(shù) }并上無窮遠點 O。 本例中 E23(1,1)由表 ，表中未給出 O 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 17 ?一般來說， Ep(a,b)由以下方式產(chǎn)生： ?① 對每一 x(0≤xp且 x為整數(shù)），計算x3+ax+b(mod p)。 ?② 決定①中求得的值在模 p下是否有平方根，如果沒有，則曲線上沒有與這一 x相對應的點；如果有，則求出兩個平方根（ y=0 時只有一個平方根）。 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 18 ?Ep(a,b)上的加法定義如下： ? 設 P， Q∈ Ep(a,b)， 則 ?① P+O=P。 ?② 如果 P=(x,y)， 那么 (x, y)+(x, y)=O， 即 (x, y)是 P的加法逆元，表示為 P。 ? 由 Ep(a,b)的產(chǎn)生方式知， P也是 Ep(a,b)中的點，如上例， P=(13,7)∈ E23(1,1)， P=(13, 7)， 而 7 mod 23≡16，所以 P=(13, 16)， 也在 E23(1,1)中。 有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 19 ?③ 設 P=(x1,y1)， Q=(x2,y2)， P≠Q(mào)， 則 P+Q=(x3,y3)由以下規(guī)則確定： ? x3≡λ2x1x2(mod p) ? y3≡λ(x1x3)y1(mod p) ?其中 212121132yyPQxxxaPQy???????? ??????有限域上的橢圓曲線 有限域上的橢圓曲線 2023/3/21 20 ?例 仍以 E23(1,1)為例，設 P=(3,10)， Q=(9,7)，則 ?所以 P+Q=（ 17,20）， 仍為 E23(1,1)中的點。
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