【文章內(nèi)容簡介】 ，x(n)=W(n)+(n1)+(n2)W(n)是零均值正態(tài)白噪聲，方差為4。（1）用MATLAB 模擬產(chǎn)生X(n)的500 觀測點的樣本函數(shù)，并繪出波形。（2）用產(chǎn)生的500 個觀測點估計X(n)的均值和方差。（3）畫出理論的功率譜。（4）估計X(n)的相關(guān)函數(shù)和功率譜。分析：給定二階的 AR 過程，可以用遞推公式得出最終的輸出序列?；蛘甙凑找粋€白噪聲通過線性系統(tǒng)的方式得到，這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：11++這是一個全極點的濾波器，具有無限長的沖激響應(yīng)。對于功率譜，可以這樣得到可以看出，P（ω）x 完全由兩個極點位置決定。對于 AR 模型的自相關(guān)函數(shù)這稱為YuleWalker方程，當(dāng)相關(guān)長度大于p 時，由遞推式求出：這樣，就可以求出理論的 AR 模型的自相關(guān)序列。具體步驟：，并畫出波形題目中的 AR 過程相當(dāng)于一個零均值正態(tài)白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出，可以按照上面的方法進行描述。程序及仿真圖形依次如下：clear all。b=[1]。a=[1 ]。% 由描述的差分方程，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)h=impz(b,a,20)。% 得到系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)，在20點處已經(jīng)可以認為值是0 randn(39。state39。,0)。w=normrnd(0,2,1,500)。% 產(chǎn)生題設(shè)的白噪聲隨機序列，標準差為2x=filter(b,a,w)。% 通過線形系統(tǒng)，得到輸出就是題目中要求的2階AR過程plot(x,39。r39。)。ylabel(39。x(n)39。)。title(39。產(chǎn)生的AR隨機序列39。)。grid可以首先計算出理論輸出的均值和方差，對于方差可以先求出理論自相關(guān)輸出，然后取零點的值。并且，代入有可以采用上面介紹的方法，對式中的卷積進行計算。在最大值處就是輸出的功率，也就是方差，為對實際數(shù)據(jù)進行估計，均值為mean(x)=，而方差為var(x)= ，兩者和理論值吻合的比較好。 理論的功率譜為，相關(guān)程序及仿真圖形如下：delta=2*pi/1000。w_min=pi。w_max=pi。Fs=1000。w=w_min:delta:w_max。% 得到數(shù)字域上的頻率取樣點，范圍是[pi,pi] Gx=4*(abs(1./(1+*exp(i*w)+*exp(2*i*w))).^2)。% 計算出理論值Gx=Gx/max(Gx)。% 歸一化處理f=w*Fs/(2*pi)。% 轉(zhuǎn)化到模擬域上的頻率plot(f,Gx,39。b39。),grid on。那么可以看出這個系統(tǒng)是帶通系統(tǒng)。依據(jù)原理估計相關(guān)函數(shù)和功率譜，相關(guān)程序及仿真圖形如下： % 計算理論和實際的自相關(guān)函數(shù)序列Mlag=20。% 定義最大自相關(guān)長度Rx=xcorr(x,Mlag,39。coeff39。)。m=Mlag:Mlag。stem(m,Rx,39。r.39。)。grid on。由仿真圖形可以分析出它和上面的理論輸出值基本一致。實際的功率譜密度的程序及仿真圖形如下：window=hamming(20)。% 采用hanmming窗，長度為20 noverlap=10。% 重疊的點數(shù)Nfft=512。% 做FFT的點數(shù)Fs=1000。% 采樣頻率，為1000Hz[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 39。onesided39。)。% 估計功率譜密度f1=[fliplr(f)f(1:end)]。% 構(gòu)造一個對稱的頻率，范圍是[Fs/2, Fs/2] Px=[fliplr(Px)Px(1:end)]。% 對稱的功率譜plot(f1,10*log10(Px),39。b39。)。grid on。四、實驗中所遇到問題及解決方法問題對一些典型的時間序列模型不了解。解決方法：通過對實驗原理的分析，還有課本內(nèi)容及查找的相關(guān)資料的參閱，以及與同學(xué)們的討論，慢慢地就建立了一些有關(guān)時間序列的很基礎(chǔ)的觀念。問題運用 Matlab工具對AR模型進行統(tǒng)計特性分析很棘手。解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關(guān)內(nèi)容，然后在Matlab上學(xué)會用help中的相關(guān)輔助、查找功能。問題運用Matlab編程時編寫的程序經(jīng)過運行之后有錯，而且很難發(fā)現(xiàn)其中錯誤。解決方法：充分利用Matlab運行出錯之后的英文提示進行分析和改正，同時也要學(xué)會運用Matlab上一些有用的學(xué)習(xí)資源。五、實驗總結(jié)及心得體會實驗總結(jié)：本實驗是用解YuleWalker方程估計法來實現(xiàn)AR模型的求解，是一種AR模型參數(shù)的直接估計法。時間序列一靠數(shù)據(jù)順序，二靠數(shù)據(jù)大小，蘊含著客觀世界及其變化的信息，表現(xiàn)著變化的動態(tài)過程，因此，時間序列也往往稱為“動態(tài)數(shù)據(jù)”，對動態(tài)數(shù)據(jù)建立模型就是數(shù)據(jù)建模。因此，從系統(tǒng)角度來考察，某一時間序列表現(xiàn)著客觀世界的某一動態(tài)過程，換而言之，表現(xiàn)著某一系統(tǒng)的某一行為及其變化過程，也可以說，某一時間序列就是某一相應(yīng)系統(tǒng)的有關(guān)輸出或響應(yīng)。現(xiàn)代譜估計是通過觀測數(shù)據(jù)估計參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計信號功率譜，主要是針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出的，應(yīng)用最廣的是AR參數(shù)模型?，F(xiàn)代譜估計的參數(shù)模型有自回歸滑動平均（ARMA）模型、自回歸（AR）模型、滑動平均（MA）模型，Wold分解定理闡明了三者之間的關(guān)系：任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機過程可以用無限階的AR模型表示，任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩(wěn)隨機過程可以用無限階的AR模型表示。但是由于只有AR模型參數(shù)估計是一組線性方程，而實際的物理系統(tǒng)往往是全極點系統(tǒng)，因而AR應(yīng)用最廣。實驗總結(jié)：剛剛開始做實驗時我們確實是一點頭緒也沒有，不知道該如何下手，只是查找和參看一些Matlab和統(tǒng)計信號分析的書籍，但是也實驗好像都沒有進展。對于我來說，首先要解決的問題就是要學(xué)著運用Matlab這個有很實用的工具，不僅要基本認識Matlab而且還要學(xué)會編寫程序。這個過程是不容易的，要參看大量資料而且還要花大量時間來自己編寫程序。其次還要很認真的反復(fù)看課本上的相關(guān)內(nèi)容也要看一些書籍?？傊@次實驗對我來說剛開始時是很不容易的，但是經(jīng)過和同學(xué)的協(xié)作、查找參看一些相關(guān)資料之后，最后還是有一些收獲的，畢竟我付出了時間和精力。也許我做得不是特別好，但是通過努力之后，不可否認的，我們對Matlab有了進一步認識，對于AR模型確實有了一定的認知和理解，對于統(tǒng)計信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實驗讓我們以實際動手的方式去認知感受統(tǒng)計信號的知識。更重要的是我覺得，這次實驗也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業(yè)學(xué)生的根據(jù)理論分析和實驗工具來設(shè)計分析實驗的思維和能力。因為面對老師布置的實驗任務(wù)，我們必須有一個對于實驗的全面的認知和大體的結(jié)構(gòu)把握才有可能去一步步的去實現(xiàn)，否則我們是無從下手的。也許，這種遇到問題所需要的思維方法和能力才是這次實驗的精華，也是對我們最有益處的。第三篇：信號分析與處理 期末考試20142015學(xué)年第一學(xué)期期末考試《信號分析與處理中的數(shù)學(xué)方法》學(xué)號： 姓名：注意事項：，如有雷同，直接按照不及格處理； ；，逾期郵件無效； @。敘述卡享南—洛厄維變換，為什么該變換被稱為最佳變換，何為其實用時的困難所在，舉例說明其應(yīng)用。解：形為λφ()=(,)()(11)0的方程稱為齊次佛萊德霍姆積分方程，其中φ（t）為未知函數(shù)，λ是參數(shù)，C（t,s）為已知的“核函數(shù)”，它定義在[0，T][0，T]上，我們假定它是連續(xù)的，且是對稱的：(t,s)=(s,t)(12)使積分方程(11)有解的參數(shù)λ稱為該方程的特征值，相應(yīng)的解φ(t)稱為該方程的特征函數(shù)。又核函數(shù)可表示為：C(t,s)= =1()()（13）固定一個變量（例如t），則式（13）表示以s為變量的函數(shù)C(t,s)關(guān)于正交系{φ(s)}n∞的傅里葉級數(shù)展開，而傅里葉級數(shù)正好是λnφn(t)。設(shè)x（t）為一隨機信號，則其協(xié)方差函數(shù)（t,s）={[x(t)E{x(t)}][x(s)E{x(s)}]}是一個非隨機的對稱函數(shù)，而且是非負定的。為了能方便地應(yīng)用式(13)，假定C(t,s)是正定的，在多數(shù)情況下，這是符合實際的。當(dāng)然，還假定C(t,s)在[0，T][0，T]上連續(xù)。現(xiàn)在用特征函數(shù)系{φ(t)}作為基來表示x（t）：nx(t)= n=1αnφn(t)(14)其中T∞αnn= x（t）φn（t）dt0因為{φ（t）}是歸一化正交系，所以展開式（14）類似于傅里葉級數(shù)展開。但是因為x（t）是隨機的，從而系數(shù)xn也是隨機的，因此這個展開式實際上并不是通常的傅里葉展開。式(14)稱為隨機信號的卡享南洛厄維展開。因為這種變換能使變換后的分量互不相關(guān)，而且這種展開的截斷既能使均方差誤差最小，又能使統(tǒng)計影響最小，故具有最優(yōu)性?？ㄏ砟下宥蚓S變換沒有固定的變換矩陣，它依賴于給定的隨機向量的協(xié)方差陣。正是這種變換的特點，也是它在實際使用時的困難所在，因為它需要依照不固定的矩陣求特征值和特征向量?？ㄏ砟下宥蚓S變換應(yīng)用在數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)中。按照最優(yōu)化原則的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)可以解決通訊和數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)的信道容量不足和計算機存儲容量不足的問題。通過對信號作正交變換，根據(jù)失真最小的原則在變換域進行壓縮?？ㄏ砟下宥蚓S變換被選用并不是偶然的，因為這種變換消除了原始信號x的諸分量間的相關(guān)性，從而使數(shù)據(jù)壓縮能遵循均方誤差最小的準則實施。最小二乘法的三種表現(xiàn)形式是什么？以傅里葉級數(shù)展開為例說明其各自的優(yōu)缺點。解：希爾伯特空間中線性逼近問題的求解方法稱為最小二乘法。通常它有三種不同的表現(xiàn)形式：投影法、求導(dǎo)法和配方法。我們以傅里葉級數(shù)展開為例來說明。投影法：設(shè)X為希爾伯特空間，{e1,e2,e3??}為X中的一組歸一化正交元素，x為X中的某一元素。在子空間M=span{e1,e2,e3??}中求一元素m，使得x?m‖‖xm0‖=minm‖∈(21)M由于M中的元素可表示為e1,e2,e3??的線性組合，那么問題就轉(zhuǎn)化為求系數(shù) α1,α2??使得‖xk=1akek‖=min 22 投影定理指出了最優(yōu)系數(shù)α1∞,α2??應(yīng)滿足 xk=1akek⊥ek ,m=1,2, ??∞由此可得（x,em）=(k=1akek ∞,em)=am也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)ak取為x關(guān)于歸一化正交系{