【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴ DF=2 DE=3 ∵ AEEB=DECE ∴ CE=5 （北京四中模擬） 如圖，以等腰 ABC? 中的腰 AB 為直徑作 ⊙ O ，交底 邊 BC 于 點(diǎn) D ． 過點(diǎn) D 作 DE AC? ，垂足為 E ． （ I） 求證： DE 為 ⊙ O 的切線； （ II） 若 ⊙ O 的半徑為 5， 60BAC??，求 DE 的長(zhǎng)． 解： （ I） 證明：連接 AD ，連接 OD AB 是直徑， ? BCAD? ， 又 ? ABC? 是等腰三角形， ∴ D 是 BC 的中點(diǎn)． OD AC? ∥ ． DE AC? ， DEOD?? ． DE? 為 ⊙ O 的切線． 10 （ II） 在等腰 ABC? 中， 60BAC??，知 ABC△ 是等邊三角形． ?⊙ O 的半徑為 5， 10AB BC? ? ? ， 1 52CD BC??． 53s in 6 0 2D E C D? ? ? （ 20xx 年浙江杭州六模）如圖， AB 為 ⊙ O 的弦， C 為劣弧 AB 的中點(diǎn)， （ 1）若 ⊙ O 的半徑為 5， 8AB? ，求 tan BAC? ； （ 2）若 DAC BAC? ? ? ，且點(diǎn) D 在 ⊙ O 的外部，判斷 AD 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并說明理由 . 答案： (1)解： ∵ AB 為 ⊙ O 的弦， C 為劣弧 AB 的中點(diǎn) , 8AB? ∴ OC AB? 于 E∴ 1 42AE AB?? ……1 分 又 ∵ 5AO? ∴ 22 3O E O A O E? ? ? ∴ 2C E OC OE? ? ? ……1 分 在 Rt△ AEC 中 , 21ta n42ECBAC AE? ? ? ? ……1 分 (2)AD 與 ⊙ O 相切 . ……1 分 理由如下： ∵ OA OC? ∴ C OAC? ?? ∵ 由（ 1）知 OC AB? ∴ ∠ C+∠ BAC＝ 90176。. ……1 分 又 ∵ BAC DAC? ? ? ∴ 90OA C DA C? ? ? ? ? ……1 分 ∴ AD 與 ⊙ O 相切 . 9 題 11 CBAB 組 1．（ 20xx 年杭州三月月考 ） 如圖 ,已知在等腰 △ ABC 中 ,∠ A=∠ B=30176。,過點(diǎn) C 作 CD⊥ AC 交AB 于點(diǎn) D. (1)尺規(guī)作圖：過 A， D， C 三點(diǎn)作 ⊙ O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）； (2)求證： BC 是過 A， D， C 三點(diǎn)的圓的切線； (3)若過 A， D， C 三點(diǎn)的圓的半徑為 3 ,則線段 BC 上是否存在一點(diǎn) P，使得以 P， D，B 為頂點(diǎn)的三角形與 △ BCO 相似 .若存在，求出 DP 的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由 . 答案： 解：（ 1）作出圓心 O， 以點(diǎn) O 為圓心， OA 長(zhǎng)為半徑作圓 . （ 2）證明： ∵ CD⊥ AC,∴∠ ACD=90176。. ∴ AD 是 ⊙ O 的直徑 連結(jié) OC， ∵∠ A=∠ B=30176。, ∴∠ ACB=120176。,又 ∵ OA=OC, ∴∠ ACO=∠ A =30176。, ∴∠ BCO=∠ ACB∠ ACO =120176。30176。=90176。. ∴ BC⊥ OC, ∴ BC 是 ⊙ O 的切線 . （ 3）存在 . ∵∠ BCD=∠ ACB∠ ACD=120176。90176。=30176。, ∴∠ BCD=∠ B, 即 DB=DC. 又 ∵ 在 Rt△ ACD 中， DC=AD 330sin ??? , ∴ BD= 3 . 解法一： ① 過點(diǎn) D 作 DP1// OC，則 △ P1D B∽△ COB, BOBDCODP ?1， ∵ BO=BD+OD= 32 , ∴ P1D=BOBDOC= 33 3 = 32 . ② 過點(diǎn) D 作 DP2⊥ AB,則 △ BDP2∽△ BCO, ∴ BCBDOCDP ?2 ， ∵ BC＝ ,322 ?? COBO ∴ 13332 ????? OCBCBDDP. 解法二： ① 當(dāng) △ B P1D∽△ BCO 時(shí)， ∠ DP1B=∠ OCB=90176。. OP 2P 1DCBA 12 在 Rt△ B P1D 中， DP1=2330sin ???BD. ② 當(dāng) △ B D P2∽△ BCO 時(shí)， ∠ P2DB=∠ OCB=90176。. 在 Rt△ B P2D 中， DP2= 130tan ???BD . 2． （ 20xx 年 三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué) 3 月模擬 ）如圖 ,AB 是半圓的直徑 ,O 為圓心 ,AD 、 BD 是半圓的弦，且 PD A PB D? ? ? . (1)判斷直線 PD 是否為 ⊙ O 的切線，并說明理由； (2)如果 60BDE??， 3PD? ，求 PA 的長(zhǎng)。 答案： （ 1） PD 是 ⊙ O 的切線 連接 OD,∵ OB=OD, ∴∠ ODB=∠ PBD 又 ∵∠ PDA=∠ PBD. ∴∠ PDA=∠ ODB 又 ∵ AB 是半圓的直徑， ∴∠ ADB=90176。. 即 ∠ ODA+∠ ODB=90176。. ∴∠ ODA+∠ PDA=90176。, 即 OD⊥ PD. ∴ PD 是 ⊙ O 的切線 .. （ 2） ∵ OD⊥ PE,AD⊥ BD,∠ BDE=60176。, ∴∠ ODB=∠ PBD=∠ PDA=30176。 ∴∠ OAD=60176。. ∴∠ P=30176。. ∴ PA=AD=OD. 在直角 △ PDO 中， ∠ P=30176。,PD= 3 , ∴ tan ODPPD??， ∴ OD=PDtan∠ P= 3 tan30176。=1. ∴ PA=1. 13 3．（ 20xx 安徽中考模擬） 如圖（ 1）， ∠ ABC=90176。， O 為射線 BC 上一點(diǎn)， OB = 4，以點(diǎn) O 為圓心，21BO 長(zhǎng)為半徑作 ⊙ O 交 BC 于點(diǎn) D、 E． （ 1）當(dāng)射線 BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與 ⊙ O 相切？請(qǐng)說明理由． （ 2）若射線 BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與 ⊙ O 相交于 M、 N 兩點(diǎn)（如圖（ 2））， MN=22，求 ⌒MN的長(zhǎng)． 答案 ：（ 1）當(dāng)射線 BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60 度或 120 度時(shí)與 ⊙ O 相切． ……2 分 理由：當(dāng) BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60 度到 B A′的位置． 則 ∠ A′BO=30176。， 過 O 作 OG⊥ B A′垂足為 G， ∴ OG=12OB=2． …………………………4 分 ∴ B A′是 ⊙ O 的切線． ……………………5 分 同理，當(dāng) BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 120 度 到 B A″的位置時(shí)， B A″也是 ⊙ O 的切線． … ………………6 分 （如只有一個(gè)答案，且說理正確，給 2 分） （或： 當(dāng) BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 B A′的位置時(shí)， BA 與 ⊙ O 相切， 設(shè)切點(diǎn)為 G，連結(jié) OG，則 OG⊥ AB， ∵ OG=12OB， ∴∠ A′BO=30176。． ∴ BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了 60 度． 同理可知，當(dāng) BA 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 B A″的位置時(shí)， BA 與 ⊙ O 相切， BA繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了 120 度． ） （ 2） ∵ MN= 22， OM=ON=2， ∴ MN 2 = OM 2 +ON2， …………………8 分 ∴∠ MON=90176。． …………………9 分 ∴ ⌒MN的長(zhǎng)為 90 2180l ???=π． …………12 分 B O D E C A 圖（ 2） M N 圖（ 1） A B O C D E （