【文章內容簡介】 另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮盗筷P系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 解由條件知，公路總長不變。原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為300247。（4－3）12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。例2張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？ 解做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題則有28∶4＝91∶X 28X＝914X＝914247。28X＝13 答：91分鐘可以做13道應用題。例3孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系 設X天可以看完，就有24∶36＝X∶15 36X＝2415X＝10 答：10天就可以看完。1按比例分配問題 【含義】所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數?！緮盗筷P系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數＝比的前后項之和 【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解總份數為47＋48＋45＝140 一班植樹56047/140＝188（棵）二班植樹56048/140＝192（棵）三班植樹56045/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？ 解3＋4＋5＝12603/12＝15（厘米）604/12＝20（厘米）605/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17179/17＝9 176/17＝6172/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？ 解80247。（12－8）（8＋12＋21）＝820（人）答：三個車間一共820人。1百分數問題 【含義】百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮盗筷P系】掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系： 百分數＝比較量247。標準量 標準量＝比較量247。百分數 【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：（1）求一個數是另一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。例1倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解（1）用去的占720247。（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480247。（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？ 解本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525－420）247。525＝＝20% 或者1－420247。525＝＝20% 答：男職工人數比女職工少20%。例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？ 解本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此（525－420）247。420＝＝25% 或者525247。420－1＝＝25% 答：女職工人數比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？ 解（1）男職工占420247。（420＋525）＝＝%（2）女職工占525247。（420＋525）＝＝% 答：%，%。1“牛吃草”問題 【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮盗筷P系】草總量＝原有草量＋草每天生長量天數 【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以 11020＝原有草量＋20天內生長量 同理11510＝原有草量＋10天內生長量 由此可知（20－10）天內草的生長量為 11020－11510＝50 因此，草每天的生長量為50247。（20－10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝11510－510＝100（3）求5天內草總量5天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋55＝125（4）求多少頭牛5天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數125247。5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘 水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？ 解這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量因為，3小時內的總水量＝1123＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝1510＝原有水量＋10小時進水量 所以，（10－3）小時內的進水量為1510－1123＝14 因此，每小時的進水量為14247。（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1123－3小時進水量＝36－23＝30（3）求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30247。（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。雞兔同籠問題 【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數量關系】 第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有兔數＝（實際腳數－2雞兔總數）247。（4－2）假設全都是兔，則有雞數＝（4雞兔總數－實際腳數）247。（4－2）第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有兔數＝（2雞兔總數－雞與兔腳之差）247。（4＋2）假設全都是兔，則有雞數＝（4雞兔總數＋雞與兔腳之差）247。（4＋2）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？ 解假設35只全為兔，則雞數＝（435－94）247。（4－2）＝23（只）兔數＝35－23＝12（只）也可以先假設35只全為雞，則兔數＝（94－235）247。（4－2）＝12（只）雞數＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1247。2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3247。5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有白菜畝數＝（9－1247。216）247。（3247。5－1247。2）＝10（畝）答：白菜地有10畝。例3 李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？ 解此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數＝（69－45）247。（－）＝15（本）日記本數＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解假設100只全都是雞，則有兔數＝（2100－80）247。（4＋2）＝20（只）雞數＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例5有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 解假設全為大和尚，則共吃饃（3100）個，比實際多吃（3100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚（3100－100）247。（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。2方陣問題 【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）4 每邊人數＝四周人數247。4＋1（2）方陣總人數的求法：實心方陣：總人數＝每邊人數每邊人數空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）層數4 【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？ 解2222＝484（人）答：參加體操表演的同學一共有484人。例2有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。解10－（10－32）? ＝84（人）答：全方陣84人。例3有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？ 解（1）中空方陣外層每邊人數＝52247。4＋1＝14（人）（2）中空方陣內層每邊人數＝28247。4－1＝6（人）（3）中空方陣的總人數＝1414－66＝160（人）答：這隊學生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？ 解（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數＝（13＋1）247。2＝7（只）（3）原有棋子數＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。例5有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？ 解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）5247。2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。2方陣問題 【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）4 每邊人數＝四周人數247。4＋1（2）方陣總人數的求法：實心方陣：總人數＝每邊人數每邊人數空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）層數4 【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？ 解2222＝484（人）答：參加體操表演的同學一共有484