【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？ 解由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長(zhǎng)為300247。（4－3）12＝3600（米）答：這條公路總長(zhǎng)3600米。例2張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？ 解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4＝91∶X 28X＝914X＝914247。28X＝13 答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？ 解書的頁(yè)數(shù)一定，每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系 設(shè)X天可以看完，就有24∶36＝X∶15 36X＝2415X＝10 答：10天就可以看完。1按比例分配問(wèn)題 【含義】所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問(wèn)題看，求幾個(gè)部分量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項(xiàng)之和 【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？ 解總份數(shù)為47＋48＋45＝140 一班植樹56047/140＝188（棵）二班植樹56048/140＝192（棵）三班植樹56045/140＝180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？ 解3＋4＋5＝12603/12＝15（厘米）604/12＝20（厘米）605/12＝25（厘米）答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17179/17＝9 176/17＝6172/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？ 解80247。（12－8）（8＋12＋21）＝820（人）答：三個(gè)車間一共820人。1百分?jǐn)?shù)問(wèn)題 【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量247。標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量247。百分?jǐn)?shù) 【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解（1）用去的占720247。（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480247。（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525－420）247。525＝＝20% 或者1－420247。525＝＝20% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此（525－420）247。420＝＝25% 或者525247。420－1＝＝25% 答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？ 解（1）男職工占420247。（420＋525）＝＝%（2）女職工占525247。（420＋525）＝＝% 答：%，%。1“牛吃草”問(wèn)題 【含義】“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量天數(shù) 【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？ 解草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長(zhǎng)量因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以 11020＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量 同理11510＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量 由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為 11020－11510＝50 因此，草每天的生長(zhǎng)量為50247。（20－10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝11510－510＝100（3）求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋55＝125（4）求多少頭牛5天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125247。5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘 水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？ 解這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1123＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1510＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量 所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1510－1123＝14 因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14247。（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1123－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－23＝30（3）求17人幾小時(shí)淘完17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 30247。（17－2）＝2（小時(shí)）答：17人2小時(shí)可以淘完水。雞兔同籠問(wèn)題 【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 第一雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2雞兔總數(shù)）247。（4－2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）247。（4－2）第二雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）247。（4＋2）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。例1長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解假設(shè)35只全為兔，則雞數(shù)＝（435－94）247。（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則兔數(shù)＝（94－235）247。（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問(wèn)題?！懊慨€菠菜施肥（1247。2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥（3247。5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有白菜畝數(shù)＝（9－1247。216）247。（3247。5－1247。2）＝10（畝）答：白菜地有10畝。例3 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買了多少本？ 解此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（69－45）247。（－）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4（第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？ 解假設(shè)100只全都是雞，則有兔數(shù)＝（2100－80）247。（4＋2）＝20（只）雞數(shù)＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例5有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？ 解假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚（3100－100）247。（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。2方陣問(wèn)題 【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247。4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）? 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4 【解題思路和方法】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？ 解2222＝484（人）答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10－（10－32）? ＝84（人）答：全方陣84人。例3有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？ 解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52247。4＋1＝14（人）（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28247。4－1＝6（人）（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝1414－66＝160（人）答：這隊(duì)學(xué)生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？ 解（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）247。2＝7（只）（3）原有棋子數(shù)＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。例5有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？ 解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）5247。2＝15（棵）答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。2方陣問(wèn)題 【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247。4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）? 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4 【解題思路和方法】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？ 解2222＝484（人）答：參加體操表演的同學(xué)一共有484